Vecteurs et droites du plan/Exercices/Décomposition de vecteurs

**Décomposition de vecteurs**
Leçon : Vecteurs et droites du plan

Page d'exercices n^o 2

Exercices de niveau 12.
Exo préc. :	Vecteurs
Exo suiv. :	Équations de droites

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Décomposition de vecteurs
Vecteurs et droites du plan/Exercices/Décomposition de vecteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice n^o 1

Les vecteurs $\vec{u} (\begin{matrix} \sqrt{3} - 2 \\ \sqrt{3} + 2 \end{matrix})$ et $\vec{v} (\begin{matrix} 4 \sqrt{3} - 7 \\ 1 \end{matrix})$ sont-ils colinéaires ?
Soit $A (1; 4)$ , $B (- 1; 1)$ , $C (1; 2)$ et $D (- 3; y)$ . Déterminer la valeur de $y$ pour que les droites $(A B)$ et $(C D)$ soient parallèles.

Solution

$(\sqrt{3} - 2) \times 1 - (\sqrt{3} + 2) (4 \sqrt{3} - 7)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} - 2 - (4 (\sqrt{3})^{2} - 7 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - 14)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} - 2 - (12 + \sqrt{3} - 14)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} - 2 - (\sqrt{3} - 2) = 0$
donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles donc les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires.
$\vec{A B} (\begin{matrix} - 1 - 1 \\ 1 - 4 \end{matrix}) = \vec{A B} (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix})$

$\vec{C D} (\begin{matrix} - 3 - 1 \\ 2 - y \end{matrix}) = \vec{A B} (\begin{matrix} - 4 \\ 2 - y \end{matrix})$

$- 2 \times (2 - y) - (- 3) \times (- 4) = 0$

$\Leftrightarrow - 4 + 2 y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow 2 y = 16$

$\Leftrightarrow y = 8$

Exercice n^o 2

Dans un triangle non aplati $A B C$ , on considère les points $I$ , $J$ et $K$ tels que $I$ soit le milieu du segment $[A B]$ , $J$ celui du segment $[C I]$ et $K$ est tel que $\vec{C K} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ .

On considère le repère $(A; \vec{A B}; \vec{A C})$ .

Déterminer les coordonnées des points $A$ , $B$ , $C$ , $I$ et $J$ dans ce repère.
En utilisant la relation $\vec{C K} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ , déterminer les coordonnées du point $K$ .
Démontrer que les points $A$ , $J$ et $K$ sont alignés et préciser la position du point $J$ sur le segment $[A K]$ .

Solution

Dans le repère (A;AB→;AC→) :
- $A$ est l'origine du repère donc $A (0; 0)$
- $\vec{A B} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ donc $B (1; 0)$
- $\vec{A C} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ donc $C (0; 1)$
I est le milieu de [AB] donc AI→=12AB→ donc I(12;0). J est le milieu de [CI] donc CJ→=12CI→. Pour trouver les coordonnées de J dans le repère (A;AB→;AC→), il faut exprimer AJ→ en fonction de AB→ et AC→.
$\vec{C J} = \vec{C A} + \vec{A J}$
et
$\vec{C I} = \vec{C A} + \vec{A I} = \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{A B}$
donc
$\vec{C A} + \vec{A J} = \frac{1}{2} (\vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{A B})$

$\Leftrightarrow \vec{A J} = \frac{1}{2} (\vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{A B}) - \vec{C A}$

$\Leftrightarrow \vec{A J} = \frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{4} \vec{A B} - \vec{C A}$

$\Leftrightarrow \vec{A J} = \frac{- 1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B} + \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \vec{A J} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$
donc J(14;12).
Pour trouver les coordonnées de $K$ dans le repère $(A; \vec{A B}; \vec{A C})$ , il faut exprimer $\vec{A K}$ en fonction de $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ .
$\vec{C K} = \frac{1}{3} \vec{C B}$

$\Leftrightarrow \vec{C A} + \vec{A K} = \frac{1}{3} (\vec{C A} + \vec{A B})$

$\Leftrightarrow \vec{A K} = \frac{1}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{A B} - \vec{C A}$

$\Leftrightarrow \vec{A K} = \frac{- 1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \vec{A K} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$
donc $J (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
$\vec{A J} (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$

$\vec{A K} (\begin{matrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{matrix})$

$\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6} = 0$
Donc $\vec{A J}$ et $\vec{A K}$ sont colinéaires donc les points $A$ , $J$ et $K$ sont alignés.
$\frac{3}{4} \vec{A K} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C})$

$\frac{3}{4} \vec{A K} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} = \vec{A J}$
donc $\vec{A J} = \frac{3}{4} \vec{A K}$

Exercice n^o 3

Soit les points $A (6; 2)$ , $B (4; 5)$ et $C (10; \frac{5}{2})$ .

Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{A D} = 2 \vec{A C} + \vec{A B}$ .
Déterminer les coordonnées du point $E$ tel que $\vec{B E} = 2 \vec{B C} + 3 \vec{A B}$ .
Déterminer que $A B E D$ est un parallélogramme.
Calculer les longueurs $B D$ et $A E$ . Que pouvez-vous en déduire pour le parallélogramme $A B E D$ ?

Solution

$\vec{A B} (\begin{matrix} 4 - 6 \\ 5 - 2 \end{matrix}) = \vec{A B} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})$

$\vec{A C} (\begin{matrix} 10 - 6 \\ \frac{5}{2} - 2 \end{matrix}) = \vec{A C} (\begin{matrix} 4 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})$

$\vec{A D} (\begin{matrix} x - 6 \\ y - 2 \end{matrix})$
On a $\vec{A D} = 2 \vec{A C} + \vec{A B}$ donc
${\begin{matrix} x - 6 = 2 \times 4 + (- 2) \\ y - 2 = 2 \times \frac{1}{2} + 3 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 8 - 2 + 6 \\ y = 1 + 3 + 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 12 \\ y = 6 \end{matrix}$
donc $D (12; 6)$ .
$\vec{A B} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})$

$\vec{B C} (\begin{matrix} 10 - 4 \\ \frac{5}{2} - 5 \end{matrix}) = \vec{B C} (\begin{matrix} 6 \\ \frac{- 5}{2} \end{matrix})$

$\vec{B E} (\begin{matrix} x - 4 \\ y - 5 \end{matrix})$
On a $\vec{B E} = 2 \vec{B C} + 3 \vec{A B}$ donc
${\begin{matrix} x - 4 = 2 \times 6 + 3 \times (- 2) \\ y - 5 = 2 \times \frac{- 5}{2} + 3 \times 3 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 12 - 6 + 4 \\ y = - 5 + 9 + 5 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 10 \\ y = 9 \end{matrix}$
donc $E (10; 9)$ .
$\vec{A B} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})$

$\vec{D E} (\begin{matrix} 10 - 12 \\ 9 - 6 \end{matrix}) = \vec{D E} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})$
On a $\vec{A B} = \vec{D E}$ donc $A B E D$ est un parallélogramme.
$\vec{B D} (\begin{matrix} 12 - 4 \\ 6 - 5 \end{matrix}) = \vec{B D} (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix})$
donc $B D = \sqrt{8^{2} + 1^{2}} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}$
$\vec{A E} (\begin{matrix} 10 - 6 \\ 9 - 2 \end{matrix}) = \vec{A E} (\begin{matrix} 4 \\ 7 \end{matrix})$
donc $A E = \sqrt{4^{2} + 7^{2}} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$ $A B E D$ est un parallélogramme et $A E = B D$ donc c'est un rectangle.

Exercice n^o 4

On considère un parallélogramme $A B C D$ de centre $O$ .

Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$ .

Solution

\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O D}

\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}

$A B C D$ est un parallélogramme de centre $O$ donc $O$ est le milieu de $[A C]$ et de $[B D]$ , donc $\vec{A O} = \vec{O C}$ et $\vec{B O} = \vec{O D}$ .

donc :

\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{A O} + \vec{B O}

\Leftrightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}

Exercice no 1

Exercice no 2

Exercice no 3

Exercice no 4

Exercice n^o 1

Exercice n^o 2

Exercice n^o 3

Exercice n^o 4