Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : VecteursVecteurs et droites du plan/Exercices/Vecteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
un parallélogramme.
Construire les points
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
,
G
{\displaystyle G}
et
H
{\displaystyle H}
tels que :
A
E
→
=
3
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AE}}=3{\vec {AB}}}
,
B
F
→
=
3
B
C
→
{\displaystyle {\vec {BF}}=3{\vec {BC}}}
,
C
G
→
=
3
C
D
→
{\displaystyle {\vec {CG}}=3{\vec {CD}}}
et
D
H
→
=
3
D
A
→
{\displaystyle {\vec {DH}}=3{\vec {DA}}}
.
Recopier et compléter l'égalité suivante en utilisant la relation de Chasles :
E
F
→
=
E
A
→
+
…
+
B
F
→
{\displaystyle {\vec {EF}}={\vec {EA}}+\ldots +{\vec {BF}}}
. En déduire l'expression du vecteur
E
F
→
{\displaystyle {\vec {EF}}}
en fonction des vecteurs
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AB}}}
et
B
C
→
{\displaystyle {\vec {BC}}}
.
Donner une expression du vecteur
H
G
→
{\displaystyle {\vec {HG}}}
en fonction des vecteurs
D
C
→
{\displaystyle {\vec {DC}}}
et
A
D
→
{\displaystyle {\vec {AD}}}
.
Montrer que :
E
F
→
=
H
G
→
{\displaystyle {\vec {EF}}={\vec {HG}}}
. Que pouvez-vous en conclure ?
Dans un repère
(
O
;
i
→
;
j
→
)
{\displaystyle (O;{\vec {i}};{\vec {j}})}
, on considère les points :
A
(
2
;
1
)
{\displaystyle A(2;1)}
,
B
(
5
;
3
)
{\displaystyle B(5;3)}
,
C
(
3
;
−
3
)
{\displaystyle C(3;-3)}
et
D
(
6
;
−
1
)
{\displaystyle D(6;-1)}
.
Démontrer que
A
B
D
C
{\displaystyle ABDC}
est un parallélogramme.
Soit
E
{\displaystyle E}
le symétrique de
D
{\displaystyle D}
par rapport à
B
{\displaystyle B}
. Calculer les coordonnées du point
E
{\displaystyle E}
.
Quelle est la nature du quadrilatère
A
C
B
E
{\displaystyle ACBE}
? Justifier votre réponse.
Soit
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
un rectangle. On note
E
{\displaystyle E}
le symétrique de
C
{\displaystyle C}
par rapport à
B
{\displaystyle B}
et
F
{\displaystyle F}
le symétrique de
A
{\displaystyle A}
par rapport à
D
{\displaystyle D}
.
Le point
G
{\displaystyle G}
est tel que :
A
G
→
=
2
3
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AG}}={\frac {2}{3}}{\vec {AB}}}
.
On se place dans le repère
(
A
;
A
B
→
;
A
D
→
)
{\displaystyle (A;{\vec {AB}};{\vec {AD}})}
. Donner les coordonnées des points
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
et
D
{\displaystyle D}
dans ce repère (aucune justification nécessaire).
Calculer les coordonnées de
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
et
G
{\displaystyle G}
.
Les points
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
et
G
{\displaystyle G}
sont-ils alignés ? Justifier la réponse.
A
B
C
{\displaystyle ABC}
est un triangle. On note
M
{\displaystyle M}
,
N
{\displaystyle N}
et
P
{\displaystyle P}
les points tels que :
A
M
→
=
2
3
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AM}}={\frac {2}{3}}{\vec {AB}}}
,
A
N
→
=
2
A
C
→
{\displaystyle {\vec {AN}}=2{\vec {AC}}}
et
B
P
→
=
1
2
B
C
→
{\displaystyle {\vec {BP}}={\frac {1}{2}}{\vec {BC}}}
.
Exprimer
M
N
→
{\displaystyle {\vec {MN}}}
et
N
P
→
{\displaystyle {\vec {NP}}}
en fonction de
A
B
→
{\displaystyle {\vec {AB}}}
et
A
C
→
{\displaystyle {\vec {AC}}}
.
Démontrer que les points
M
{\displaystyle M}
,
N
{\displaystyle N}
et
P
{\displaystyle P}
sont alignés.
On donne les points
M
(
−
3
;
0
)
{\displaystyle M(-3;0)}
et
N
(
2
;
1
)
{\displaystyle N(2;1)}
deux points d'un repère
(
O
;
I
;
J
)
{\displaystyle (O;I;J)}
. La droite
(
M
N
)
{\displaystyle (MN)}
coupe l'axe des ordonnées
O
J
{\displaystyle OJ}
en
P
{\displaystyle P}
.
Calculer l'ordonnée
y
P
{\displaystyle y_{P}}
du point
P
{\displaystyle P}
.
Trouvez le nombre
λ
{\displaystyle \lambda }
tel que
M
P
→
=
λ
M
N
→
{\displaystyle {\vec {MP}}=\lambda {\vec {MN}}}
.