Vecteurs et droites du plan/Exercices/Équations de droites

Exercice 3-1

Déterminer une équation cartésienne de la droite :

1. $d_{1}$ passant par le point $A(-1;2)$ et parallèle à la droite $d_{2}$ d'équation : $3x-7y+1=0$ ;
2. $d_{3}$ passant par le point $B(-6;2)$ et parallèle à la droite $d_{4}$ d'équation : $y={\frac {2}{3}}x-2$ ;
3. passant par $(1,1)$ et dirigée par $(1,0)$ ;
4. passant par les points $(1,0)$ et $(1,1)$.

Solution

1. Soit $M(x;y)\in d_{1}$ et d’une droite $d_{2}$ d'équation cartésienne avec $a=3$, $b=-7$ et $c=1$. Les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles donc ${\vec {u}}$ est un vecteur directeur de $d_{1}$ et de $d_{2}$ avec ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}={\vec {u}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$. $M\in d_{1}$ donc ${\vec {AM}}$ et ${\vec {u}}$ sont colinéaires, donc :

   ${\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x-(-1)\\y-2\end{pmatrix}}={\vec {AM}}{\begin{pmatrix}x+1\\y-2\end{pmatrix}}$

   $(x+1)\times 3-(y-2)\times 7=0$

   $\Leftrightarrow 3x+3-7y+14=0$

   $\Leftrightarrow 3x-7y+17=0$ est une équation cartésienne de la droite $d_{1}$.

2. Soit $N(x;y)\in d_{3}$ et d’une droite $d_{4}$ d'équation cartésienne réduite avec $a={\frac {2}{3}}$ et $b=-2$. Les droites $d_{3}$ et $d_{4}$ sont parallèles donc ${\vec {v}}$ est un vecteur directeur de $d_{3}$ et de $d_{4}$ avec ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}}={\vec {v}}{\begin{pmatrix}1\\{\frac {2}{3}}\end{pmatrix}}={\vec {v}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$. $N\in d_{3}$ donc ${\vec {BN}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires, donc :

   ${\vec {BN}}{\begin{pmatrix}x-(-6)\\y-2\end{pmatrix}}={\vec {BN}}{\begin{pmatrix}x+6\\y-2\end{pmatrix}}$

   $(x+6)\times 2-(y-2)\times 3=0$

   $\Leftrightarrow 2x+12-3y+6=0$

   $\Leftrightarrow 2x-3y+18=0$ est une équation cartésienne de la droite $d_{3}$.

3. $0={\begin{vmatrix}x-1&1\\y-1&0\end{vmatrix}}=1-y$.
4. $0={\begin{vmatrix}x-1&1-1\\y-1&1-0\end{vmatrix}}=x-1$.

 

Déterminer une équation cartésienne et une paramétrisation de la droite :

1. passant par $(1,2)$ et dirigée par $(2,-1)$ ;
2. passant par $(1,1)$ et dirigée par $(-2,1)$ ;
3. passant par $(1,2)$ et parallèle à la droite joignant les points $(0,1)$ et $(-1,2)$ ;
4. passant par $(1,1)$ et parallèle à la droite joignant les points $(0,1)$ et $(-1,2)$.

Solution

1. • $x=1+2t,\;y=2-t,\quad t\in \mathbb {R}$.
   • $0={\begin{vmatrix}x-1&2\\y-2&-1\end{vmatrix}}=5-x-2y$.
2. • $x=1-2t,\;y=1+t,\quad t\in \mathbb {R}$.
   • $0={\begin{vmatrix}x-1&-2\\y-1&1\end{vmatrix}}=x+2y-3$.
3. • $x=1+(-1-0)s=1-s,\;y=2+(2-1)s=2+s,\quad s\in \mathbb {R}$.
   • En éliminant $s$ : $y=2+(1-x)=-x+3$.
4. • $x=1-2s,\;y=1+2s,\quad s\in \mathbb {R}$.
   • En éliminant $s$ : $y=2-x$.

 

Exercice 3-2

Dans $\mathbb {R} ^{2}$, on considère les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ d'équations respectives : $x-2y+1=0$ et $-3x+y+1=0$.

1. Les droites $d_{1}$ et $d_{2}$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur d'intersection.
2. Déterminer une équation de la droite $d_{3}$ de coefficient ${\frac {1}{2}}$ et passant par le point $(2,-3)$.
3. Les droites $d_{1}$ et $d_{3}$ sont-elles parallèles ? Si non, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Solution

1. ${\begin{cases}x-2y+1=0\\-3x+y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=2y-1\\-3(2y-1)+y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=2y-1\\y={\frac {4}{5}}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x={\frac {3}{5}}\\y={\frac {4}{5}}.\end{cases}}$
   $d_{1}$ et $d_{2}$ sont donc sécantes, au point $\left({\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\right)$.
2. $y-(-3)={\frac {1}{2}}(x-2)\Leftrightarrow x-2y-8=0$.
3. $d_{1}$ ($x-2y+1=0$) et $d_{3}$ ($x-2y-8=0$) sont strictement parallèles.

 

Exercice 3-3

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A(-4;1)$, $B(1;-1)$, $C(-2;2)$ et $D(-3;3)$.

Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle engendrée par le vecteur $(1,-2)$. On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $G$ le point tel que ${\vec {CG}}={\frac {1}{3}}{\vec {AC}}$.

Le but de cet exercice est de démontrer que les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

1. Justifier que les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
2. 1. Démontrer que la droite $(CI)$ a pour équation cartésienne $4x+y+6=0$.
   2. Démontrer une équation cartésienne de la droite $(AD)$.
   3. Justifier que les droites $(AD)$ et $(CI)$ sont sécantes en un point $K$ dont on déterminera les coordonnées.
3. Montrer alors que les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

Solution

1. ${\vec {BC}}{\begin{pmatrix}-2-1\\2+1\end{pmatrix}}={\vec {BC}}{\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$

   ${\vec {BD}}{\begin{pmatrix}-3-1\\3+1\end{pmatrix}}={\vec {BC}}{\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}}$

   $(-3)\times 4-3\times (-4)=-12-(-12)=0$

   Les vecteurs ${\vec {BC}}$ et ${\vec {BD}}$ sont colinéaires donc $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
2. 1. $I$ est le milieu de $[AB]$ donc

      $I({\frac {x_{A}+x_{B}}{2}};{\frac {y_{A}+y_{B}}{2}})$

      $\Leftrightarrow I({\frac {-4+1}{2}};{\frac {1+(-1)}{2}})$

      $\Leftrightarrow I({\frac {-3}{2}};0)$

      Soit $M(x;y)\in (IC)$ et ${\vec {IC}}$ est un vecteur directeur de $(IC)$. Donc ${\vec {MC}}$ et ${\vec {IC}}$ sont colinéaires.

      ${\vec {IC}}{\begin{pmatrix}-2+{\frac {3}{2}}\\2+0\end{pmatrix}}={\vec {IC}}{\begin{pmatrix}{\frac {-1}{2}}\\2\end{pmatrix}}$

      ${\vec {MC}}{\begin{pmatrix}-2-x\\2-y\end{pmatrix}}={\vec {MC}}{\begin{pmatrix}-x-2\\-y+2\end{pmatrix}}$

      ${\frac {-1}{2}}\times (-y+2)-2\times (-x-2)=0$

      $\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}y-1+2x+4=0$

      $\Leftrightarrow {\frac {1}{2}}y+2x+3=0$

      $\Leftrightarrow 4x+y+6=0$ est une équation cartésienne de $(IC)$.

   2. Soit $N(x;y)\in (AD)$ et ${\vec {AD}}$ est un vecteur directeur de $(AD)$. Donc ${\vec {AN}}$ et ${\vec {AD}}$ sont colinéaires.

      ${\vec {AD}}{\begin{pmatrix}-3-(-4)\\3-1\end{pmatrix}}={\vec {AD}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

      ${\vec {AN}}{\begin{pmatrix}x-(-4)\\y-1\end{pmatrix}}={\vec {AN}}{\begin{pmatrix}x+4\\y-1\end{pmatrix}}$

      $1\times (y-1)-2\times (x+4)=0$

      $\Leftrightarrow y-1-2x-8=0$

      $\Leftrightarrow -2x+y-9=0$ est une équation cartésienne de $(AD)$.

   3. $(AD)$ et $(IC)$ sont des droites d'équation cartésienne respectives $a=4$, $b=1$, $c=6$, $a\prime =-2$, $b\prime =1$ et $c\prime =-9$.

      $a\times b\prime -a\prime \times b=4\times 1-1\times (-2)$

      $\Leftrightarrow a\times b\prime -a\prime \times b=4+2=0$

      Donc les droites $(AD)$ et $(IC)$ ne sont pas parallèles et sont donc sécantes en un point $K$.

      ${\begin{cases}4x+y+6=0\\-2x+y-9=0\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}4x+y+6=0\\-2x+y-9=0\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=-4x-6\\-2x+y-9=0\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=-4x-6\\-2x-4x-6-9=0\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=-4x-6\\-6x-15=0\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=-4x-6\\x={\frac {-5}{2}}\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=-4\times {\frac {-5}{2}}-6\\x={\frac {-5}{5}}\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=10-6\\x={\frac {-5}{2}}\end{cases}}$

      $\Leftrightarrow {\begin{cases}y=4\\x={\frac {-5}{2}}\end{cases}}$

      Donc $K({\frac {-5}{2}};4)$
3. ${\vec {BG}}$ est un vecteur directeur de la droite $(BG)$.

   ${\vec {CG}}={\frac {1}{3}}{\vec {AC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {CB}}+{\vec {BG}}={\frac {1}{3}}{\vec {AC}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}={\frac {1}{3}}{\vec {AC}}-{\vec {CB}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}(x_{C}-x_{A})-(x_{B}-x_{C})\\{\frac {1}{3}}(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{C})\end{pmatrix}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}x_{C}-{\frac {1}{3}}x_{A}-x_{B}+x_{C}\\{\frac {1}{3}}y_{C}-{\frac {1}{3}}y_{A}-y_{B}+y_{C}\end{pmatrix}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {4}{3}}x_{C}-{\frac {1}{3}}x_{A}-x_{B}\\{\frac {4}{3}}y_{C}-{\frac {1}{3}}y_{A}-y_{B}\end{pmatrix}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {4}{3}}\times (-2)-{\frac {1}{3}}\times (-4)-1\\{\frac {4}{3}}\times 2-{\frac {1}{3}}\times 1-(-1)\end{pmatrix}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {-8}{3}}+{\frac {4}{3}}-1\\{\frac {8}{3}}-{\frac {1}{3}}-(-1)\end{pmatrix}}$

   $\Leftrightarrow {\vec {BG}}{\begin{pmatrix}{\frac {-7}{3}}\\{\frac {10}{3}}\end{pmatrix}}$

   Soit $O(x;y)\in (BG)$. ${\vec {OB}}$ est vecteur directeur de $(BG)$ donc ${\vec {OB}}$ et ${\vec {BG}}$ sont colinéaires.

   ${\vec {OB}}{\begin{pmatrix}1-x\\-1-y\end{pmatrix}}$

   ${\frac {-7}{3}}\times (-1-y)-{\frac {10}{3}}\times (1-x)=0$

   $\Leftrightarrow {\frac {7}{3}}+{\frac {7}{3}}y-{\frac {10}{3}}+{\frac {10}{3}}x=0$

   $\Leftrightarrow {\frac {10}{3}}x+{\frac {7}{3}}y-1=0$

   $\Leftrightarrow 10x+7y-3=0$ est une équation cartésienne de $(BG)$

   Si on applique les coordonnées de $K$ dans cette équation et ce dernier est égal à zéro, donc les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

   $10\times {\frac {-5}{2}}+7\times 4-3=-25+28-3=0$

   Donc les droites $(AD)$, $(CI)$ et $(BG)$ sont concourantes.

 

Exercice 3-4

Soient $a,b$ deux réels, non tous deux nuls. Donner une équation cartésienne de la droite vectorielle de $\mathbb {R} ^{2}$ engendrée par le vecteur $(a,b)$.

Solution

Un vecteur $(x,y)$ appartient à cette droite si et seulement s'il est colinéaire au vecteur $(a,b)$, ce qui se traduit par la nullité du déterminant ${\begin{vmatrix}x&a\\y&b\end{vmatrix}}$ :

$bx-ay=0$.

 

Exercice 3-5

Écrire un paramétrage de la droite affine de $\mathbb {R} ^{2}$ passant par deux points distincts $A$ et $B$, de coordonnées respectives $(x_{A},y_{A})$ et $(x_{B},y_{B})$.

Solution

$M=A+t{\overrightarrow {AB}},\quad t\in \mathbb {R}$ se traduit en coordonnées par ${\begin{cases}x&=x_{A}+t(x_{B}-x_{A})\\y&=y_{A}+t(y_{B}-y_{A})\end{cases}},\quad t\in \mathbb {R}$.

 

Exercice 3-6

On considère les ensembles ${\mathcal {D}}=\{(1-t,2t)\mid t\in \mathbb {R} \}$ et ${\mathcal {D}}'=\{(3s,2-6s)\mid s\in \mathbb {R} \}$.

1. Démontrer que ce sont des droites affines.
2. Donner quelques exemples de points (par leurs coordonnées) et de vecteurs directeurs de ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$.
3. Montrer que ${\mathcal {D}}={\mathcal {D}}'$.
4. Donner un exemple de paramétrage d'une droite strictement parallèle à celle-ci.

Solution

1. ${\mathcal {D}}=(1,0)+\operatorname {Vect} (-1,2)$ et ${\mathcal {D}}'=(0,2)+\operatorname {Vect} (3,-6)$.
2. Par exemple, $t=0$ et $t=1$ donnent $(1,0),(0,2)\in {\mathcal {D}}$ et l'on retrouve ainsi le vecteur directeur $(0,2)-(1,0)=(-1,2)$. De même, $(0,2),(3,-4)\in {\mathcal {D}}'$ et l'on retrouve ainsi le vecteur directeur $(3,-4)-(0,2)=(3,-6)$.
3. ${\mathcal {D}}$ et ${\mathcal {D}}'$ on même direction $\operatorname {Vect} (3,-6)=\operatorname {Vect} (-1,2)$ et ont au moins un point commun, par exemple $(0,2)$.
4. $\{(-t,2t)\mid t\in \mathbb {R} \}$.