Vecteurs et droites du plan/Décomposition d'un vecteur

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Base

Définition

Soit ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs non colinéaires.

Le couple $({\vec {u}};{\vec {v}})$ est appelé la base du plan.

Rémarque

Dès qu'on a trois points non alignés, on a une base de plan.

Exemple

Soit $EFG$ un triangle non aplati, alors le couple $({\vec {EF}};{\vec {EG}})$ est une base de plan.

Décomposition

Définition

Soit ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs non colinéaires.

Pour tout vecteur ${\vec {w}}$ du plan, il existe un unique couple $(k;k\prime )$ de réels tels que ${\vec {w}}=k{\vec {u}}+k\prime {\vec {v}}$.

Exemple

Soit $AGF$ un triangle non aplati. Les points $B$ et $C$ sont tels que ${\vec {AB}}=2{\vec {AG}}+{\vec {AF}}$ et ${\vec {GC}}={\frac {1}{3}}{\vec {GF}}$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Solution

${\vec {BC}}={\vec {BA}}+{\vec {AG}}+{\vec {GC}}$

${\vec {BC}}=-(2{\vec {AG}}+{\vec {AF}})+{\vec {AG}}+{\frac {1}{3}}{\vec {GF}}$

${\vec {BC}}=-2{\vec {AG}}-{\vec {AF}}+{\vec {AG}}+{\frac {1}{3}}{\vec {GA}}+{\frac {1}{3}}{\vec {AF}}$

${\vec {BC}}=-2{\vec {AG}}-{\vec {AF}}+{\vec {AG}}-{\frac {1}{3}}{\vec {AG}}+{\frac {1}{3}}{\vec {AF}}$

${\vec {BC}}=-{\frac {4}{3}}{\vec {AG}}-{\frac {2}{3}}{\vec {AF}}$

${\vec {AB}}={\frac {3}{2}}(-{\frac {4}{3}}{\vec {AG}}-{\frac {2}{3}}{\vec {AF}})$

$-{\frac {3}{2}}{\vec {BC}}=-{\frac {3}{2}}(-{\frac {4}{3}}{\vec {AG}}-{\frac {2}{3}}{\vec {AF}})$

$-{\frac {3}{2}}{\vec {BC}}=2{\vec {AG}}+{\vec {AF}}={\vec {AB}}$

${\vec {AB}}=-{\frac {3}{2}}{\vec {BC}}$ donc ${\vec {AB}}$ et ${\vec {BC}}$ sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Repère

Définition

Soit $O$ un point de plan et ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs non colinéaires de ce plan : l'ensemble de ces trois données définit un repère, noté $(O;{\vec {u}};{\vec {v}})$.

Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple $(a;b)$ de réels tel que ${\vec {OM}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}$.

On traduit cela par : $M$ a pour coordonnées $(a;b)$ dans le repère $(O;{\vec {u}};{\vec {v}})$.

Exemple

Soit $EIAJ$ et $JABC$ deux parallélogrammes tels que ${\vec {EJ}}={\vec {JC}}$.

Déterminer les coordonnées de $A$ et $B$ dans le repère $(E;{\vec {EI}};{\vec {EJ}})$.

Solution

Soit $(E;{\vec {EI}};{\vec {EJ}})$ un repère où $E(0;0)$, $I(1;0)$ et $J(0;1)$.

${\vec {EA}}={\vec {EJ}}+{\vec {JA}}$

${\vec {EA}}=1{\vec {EJ}}+1{\vec {EI}}$ où $EIAJ$ est un parallélogramme donc ${\vec {JA}}={\vec {EI}}$

Donc $A(1;1)$

${\vec {EB}}={\vec {EJ}}+{\vec {JC}}+{\vec {CB}}$

${\vec {EB}}=1{\vec {EI}}+2{\vec {EJ}}$ où $EIAJ$ et $JABC$ sont des parallélogrammes donc ${\vec {EJ}}={\vec {JC}}$ et ${\vec {EI}}={\vec {CB}}$

Donc $B(1;2)$