Leçons de niveau 12

Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

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Équation cartésienne des droites
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Chapitre no 4
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Décomposition d'un vecteur
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Vecteur directeur[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soit vecteur et une droite.

S'il existe deux points et tel que alors on dit que est un directeur de .

Rémarque[modifier | modifier le wikicode]

On dit aussi que dirige .

Une droite peut donc être définie par deux points ou par un point et un vecteur directeur.

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Si est un vecteur directeur de , donc tout vecteur colinéaire à est un vecteur directeur de .

Parallèlisme[modifier | modifier le wikicode]

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, donc ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droite[modifier | modifier le wikicode]

Soit une droite et un vecteur directeur de cette droite et un point de la droite.

Si un point appartient à la droite donc et sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduite[modifier | modifier le wikicode]

Soit la droite d'équation : . Le vecteur est un vecteur directeur de la droite .

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Dans un repère du plan, on considère de la droite passant par et de vecteur directeur .

Donner les coordonnées de deux auters vecteurs directeurs de cette droite.

Si un vecteur directeur de la droite , donc tous les vecteurs directeurs de , sont colinéaires à . Alors est un vecteur directeur de , ou encore .

Déterminer si les points et appartiennent à .

Les vecteurs et sont colinéaires donc appartient à .


Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc n’appartient pas à .

Équation cartésienne de droite[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Toute droite du plan admet une équation de la forme avec , et réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite .

Rémarque[modifier | modifier le wikicode]

L'équation réduite d'une droite est unique par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit  : . L'équation réduite de est . et sont aussi des équations cartésiennes de la droite .

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux points de et un vecteur directeur de .

Si et deux points de donc et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de la forme avec , et .

Propriété[modifier | modifier le wikicode]

Soit des réels , , , , et avec et .

  • L'ensemble des points vérifiant est une droite de vecteur directeur .
  • Les droites et d'équations respectives : .

Si et sont proportionels donc les droites d'equations et sont parallèles.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Le plan est rapporté au repère .

On considère les points et et le vecteur .

Exemple no 1[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point et de vecteur directeur .

Solution

Soit , et un vecteur directeur de .

Puisque et donc et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de .

Exemple no 2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une équation cartésienne de la droite noté .

Solution

Soit .

Puisque est la droite donc et donc est un vecteur directeur de . Avec donc et sont colinéaires.


est une équation cartésienne de .

Exemple no 3[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par , noté .

Soit et .

est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet pour vecteur directeur, donc est un vecteur directeur de .

donc et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de .