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Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites

Leçons de niveau 12
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Équation cartésienne des droites
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Chapitre no 4
Leçon : Vecteurs et droites du plan
Chap. préc. :Décomposition d'un vecteur
Chap. suiv. :Sommaire
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Vecteurs et droites du plan/Équation cartésienne des droites
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Vecteur directeur

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Soit vecteur et une droite.

S'il existe deux points et tels que alors on dit que est un directeur de .

On dit aussi que dirige .

Une droite peut donc être définie par deux points, ou par un point et un vecteur directeur.

Si est un vecteur directeur de , donc tout vecteur colinéaire à est un vecteur directeur de .

Si un vecteur directeur d'une droite est colinéaire à un vecteur directeur à une autre, alors ces deux droites sont parallèles.

Caractérisation d'une droite

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Soit une droite, un vecteur directeur de cette droite et un point de la droite.

Si un point appartient à la droite , alors donc et sont colinéaires et vice versa.

Vecteur directeur et équation réduite

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Soit la droite d'équation : . Le vecteur est un vecteur directeur de la droite .

Dans un repère du plan, on considère de la droite passant par et de vecteur directeur .

Donner les coordonnées de deux autres vecteurs directeurs de cette droite.

Si un vecteur directeur de la droite , donc tous les vecteurs directeurs de , sont colinéaires à . Alors est un vecteur directeur de , ou encore .

Déterminer si les points et appartiennent à .

Les vecteurs et sont colinéaires donc appartient à .


Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc n’appartient pas à .

Équation cartésienne de droite

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Toute droite du plan admet une équation de la forme avec , et réels.

Cette équation est une équation cartésienne de la droite .

L'équation réduite d'une droite est unique. Par contre la droite peut admettre plusieurs équations cartésiennes.

Par exemple, soit  : . L'équation réduite de est . et sont aussi des équations cartésiennes de la droite .

Démonstration

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Soit et deux points de et un vecteur directeur de .

Si et deux points de , alors et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de la forme avec , et .

Soient des réels , , , , et avec et .

  • L'ensemble des points vérifiant est une droite de vecteur directeur .
  • Les droites et d'équations respectives : .

Si et sont proportionnels, alors les droites d’équations et sont parallèles.

Le plan est rapporté au repère .

On considère les points et et le vecteur .

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point et de vecteur directeur .

Solution

Soit , et un vecteur directeur de .

Puisque et donc et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de .

Déterminer une équation cartésienne de la droite noté .

Solution

Soit .

Puisque est la droite donc et donc est un vecteur directeur de . Avec donc et sont colinéaires.


est une équation cartésienne de .

Déterminer une équation cartésienne de la droite, parallèle à l'axe des ordonnées passant par , noté .

Soit et .

est parallèle à l'axe des ordonnées qui admet pour vecteur directeur, donc est un vecteur directeur de .

donc et sont colinéaires.

est une équation cartésienne de .