Vecteurs et droites du plan/Colinéarité

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition

Soit ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs.

S'il existe un réel $k$ non nul tel que ${\vec {u}}=k{\vec {v}}$, alors ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires.

Propriété

Soit $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$ un repère et ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \end{pmatrix}}$ deux vecteurs de ce repère.

Si les coordonnées des vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont proportionnelles, c'est-à-dire si ${\frac {x}{y}}={\frac {x\prime }{y\prime }}$, alors ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires.

Autrement dit, si ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}x\prime \\y\prime \end{pmatrix}}$ sont colinéaires, alors $xy\prime -x\prime y=0$ et vice versa.

Exemples

Exemple n^o 1

Montrer que ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}1-{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}-1\\1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$ sont colinéaires.

Solution

$(1-{\sqrt {2}})(1+{\sqrt {2}})-1\times (-1)$

$1^{2}-({\sqrt {2}})^{2}+1$

$1-2+1=0$

Donc ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires.

Exemple n^o 2

Déterminer le(s) réel(s) $k$ tel(s) que les vecteurs ${\vec {u}}{\begin{pmatrix}k\\-1\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}4\\k+4\end{pmatrix}}$ sont colinéaires.

Solution

${\vec {u}}{\begin{pmatrix}k\\-1\end{pmatrix}}$ et ${\vec {v}}{\begin{pmatrix}4\\k+4\end{pmatrix}}$ sont colinéaires, donc :

$k(k+4)-(-1\times 4)=0$

$k^{2}+4k+4=0$

$(k+2)^{2}=0$

$k+2=0$

$k=-2$

Application

Propriété

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.

Si les vecteurs ${\vec {AB}}$ et ${\vec {AC}}$ sont colinéaires, alors $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.

Si les vecteurs ${\vec {AB}}$ et ${\vec {CD}}$ sont colinéaires, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Exemple

Dans un repère $(O;{\vec {i}};{\vec {j}})$, on donne $A(2;1)$, $B(9;4)$, $C(-3;0)$ et $D(11;6)$. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.

Solution

${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}9-2\\4-1\end{pmatrix}}$

${\vec {AB}}{\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}}$

et

${\vec {CD}}{\begin{pmatrix}11-(-3)\\6-0\end{pmatrix}}$

${\vec {CD}}{\begin{pmatrix}14\\6\end{pmatrix}}$

$7\times 6-3\times 14$

$42-42=0$

Les vecteurs ${\vec {AB}}$ et ${\vec {CD}}$ sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.