Leçons de niveau 13

Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire

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Espérance et variance d'une variable aléatoire
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Chapitre no 2
Leçon : Variables aléatoires sur les ensembles finis
Chap. préc. :Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Chap. suiv. :Propriétés de l'espérance et de la variance
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Notation[modifier | modifier le wikicode]

Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par une variable aléatoire (v.a).

Par exemple :

Espérance d'une variable aléatoire[modifier | modifier le wikicode]


L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois. Cette remarque est justifiée par le fait que les fréquences des tendront alors vers les et que le calcul de E(X) est alors exactement celui d'une moyenne avec fréquences (voir Initiation à la statistique).

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats. La loi de probabilité de X s'écrit :

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

On calcule alors .

Ce résultat signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, la somme des deux dés est en moyenne de 7.

Variance d'une variable aléatoire[modifier | modifier le wikicode]


La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.

Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,

de manière similaire à la variance d'une série statistique.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats.

On calcule alors

Formule[modifier | modifier le wikicode]

La formule de la variance ci-dessus est utile pour comprendre la signification de ce nombre,

mais la formule suivante est plus intéressante pour le calcul effectif :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la variance de X dans l'exemple de la somme des résultats du lancer de deux dés.

Écart-type[modifier | modifier le wikicode]


L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des (si les sont des euros, est en euros). On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les ... Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.