Leçons de niveau 14

Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy

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Loi de Cauchy
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Chapitre no 5
Leçon : Variables aléatoires continues
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).


Fonctions de densité[modifier | modifier le wikicode]

Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de et .

La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.

Moments et médiane[modifier | modifier le wikicode]

Moments[modifier | modifier le wikicode]

En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :

donc

, ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre est souvent considéré comme tel.

Médiane[modifier | modifier le wikicode]

Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :

Début d’un théorème
Fin du théorème