Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy

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Présentation

La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.

Définition

La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).

Définition

La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi de Cauchy est :

$f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {a}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}$.

La courbe est symétrique par rapport à la droite $(x=x_{0})$ (paramètre de location) et $a>0$ représente l'étalement de la courbe (paramètre d'échelle).

Fonctions de densité

Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de $x_{0}$ et $a$.

La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.

Moments et médiane

Moments

Propriété

Une loi de Cauchy n'admet aucun moment.

Démonstration

$\left|{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\sim _{x\to \infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|$

donc, par le critère de Riemann, $\mathbb {E} (|X|)=+\infty$.

De même, une simple étude à l'infini montre que toute intégrale du genre diverge, toujours par le critère de Riemann :

$\forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {x^{k}}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\,\mathrm {d} x=+\infty$.

 

En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :

$\int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {at+x_{0}}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {x_{0}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$

donc

$\lim _{X\to +\infty }\int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x=x_{0}$, ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre $x_{0}$ est souvent considéré comme tel.

Médiane

Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :

Début d’un théorème

Médiane

La médiane d'une loi de Cauchy de paramètres $(a,x_{0})$ est $x_{0}$.

Fin du théorème

Démonstration

$\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {a}{\pi }}{\frac {1}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}$.