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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Variables aléatoires continues : Loi de Cauchy Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.
La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.
On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).
Définition
La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue suivant une loi de Cauchy est :
f
(
x
)
=
1
π
a
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {a}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}}
La courbe est symétrique par rapport à la droite
(
x
=
x
0
)
{\displaystyle (x=x_{0})}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de
x
0
{\displaystyle x_{0}}
et
a
{\displaystyle a}
.
La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large.
Propriété
Une loi de Cauchy n'admet aucun moment.
Démonstration
|
x
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
|
∼
x
→
∞
|
1
x
|
{\displaystyle \left|{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\sim _{x\to \infty }\left|{\frac {1}{x}}\right|}
donc, par le critère de Riemann,
E
(
|
X
|
)
=
+
∞
{\displaystyle \mathbb {E} (|X|)=+\infty }
De même, une simple étude à l'infini montre que toute intégrale du genre diverge, toujours par le critère de Riemann :
∀
k
∈
N
∗
∫
−
∞
+
∞
|
x
k
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
|
d
x
=
+
∞
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {x^{k}}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\right|\,\mathrm {d} x=+\infty }
En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :
∫
−
X
+
X
a
π
x
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
d
x
=
1
a
π
∫
−
X
−
x
0
a
X
−
x
0
a
a
t
+
x
0
1
+
t
2
a
d
t
=
1
π
∫
−
X
−
x
0
a
X
−
x
0
a
t
1
+
t
2
d
t
+
1
π
∫
−
X
−
x
0
a
X
−
x
0
a
x
0
1
+
t
2
d
t
{\displaystyle \int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {at+x_{0}}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-X-x_{0}}{a}}^{\frac {X-x_{0}}{a}}{\frac {x_{0}}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t}
donc
lim
X
→
+
∞
∫
−
X
+
X
a
π
x
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
d
x
=
x
0
{\displaystyle \lim _{X\to +\infty }\int _{-X}^{+X}{\frac {a}{\pi }}{\frac {x}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x=x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :
Début d’un théorème
Médiane
La médiane d'une loi de Cauchy de paramètres
(
a
,
x
0
)
{\displaystyle (a,x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Fin du théorème
Démonstration
∫
−
∞
x
0
a
π
1
a
2
+
(
x
−
x
0
)
2
d
x
=
1
a
π
∫
−
∞
0
1
1
+
t
2
a
d
t
=
1
π
∫
−
∞
0
1
1
+
t
2
d
t
=
1
2
{\displaystyle \int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {a}{\pi }}{\frac {1}{a^{2}+(x-x_{0})^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}a\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}}
