Variables aléatoires continues/Exercices/Loi gamma

1. Soient $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$, n variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$. Montrez que la fonction de densité de la variable $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ est $f_{S_{n}}(t)={\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}t^{n-1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}1_{\mathbb {R} _{+}}(t)$.

Rappel : Si X admet comme fonction de densité $f_{X}$ et Y admet comme fonction de densité $f_{Y}$, avec X et Y indépendantes, la fonction de densité de X+Y est le produit de convolution

$\{f_{X}\star f_{Y}\}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(u)f_{Y}(t-u)\,\mathrm {d} u$.

2. Plus généralement, on pose pour $a>0$, $\Gamma (a)=\int _{0}^{+\infty }x^{a-1}\mathrm {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$, la fonction Gamma d'Euler. On note alors $f_{a}(t)={\frac {\lambda ^{a}}{\Gamma (a)}}t^{a-1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(t)$. Vérifiez qu'elle a les propriétés d'une fonction de densité. On appelle la loi associée, la loi Gamma de paramètres $a$ et $\lambda$.

Solution

1. Simple récurrence, en utilisant le rappel : la fonction de densité de $S_{1}=X_{1}$ est bien $f_{S_{1}}(t)={\frac {\lambda ^{1}}{0!}}t^{0}\mathrm {e} ^{-\lambda t}\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(t)$, et

$\forall t>0\quad \{f_{S_{n}}\star f_{X_{n+1}}\}(t)=\int _{0}^{t}{\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}u^{n-1}\mathrm {e} ^{-\lambda u}\times \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda (t-u)}\,\mathrm {d} u={\frac {\lambda ^{n+1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}}{(n-1)!}}\int _{0}^{t}u^{n-1}\,\mathrm {d} u={\frac {\lambda ^{n+1}\mathrm {e} ^{-\lambda t}t^{n}}{n!}}$.

2. $f_{a}$ est continue positive et d'intégrale égale à 1 (par changement de variable $x=\lambda t$).