Utilisatrice:Lydie Noria/Test

Lydie Noria

Discussion

Maintenance

Laboratoire

Test

Mémo

Utilisatrice:Lydie Noria/Essai

Utilisatrice:Lydie Noria/Essaiw

Le soleil brille dans                      le ciel.

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL.

          Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Sed non risus. Suspendisse lectus tortor, dignissim sit amet, adipiscing nec, ultricies sed, dolor. Cras elementum ultrices diam. Maecenas ligula massa, varius a, semper congue, euismod non, mi. Proin porttitor, orci nec nonummy molestie, enim est eleifend mi, non fermentum diam nisl sit amet erat. Duis semper. Duis arcu massa, scelerisque vitae, consequat in, pretium a, enim. Pellentesque congue. Ut in risus volutpat libero pharetra tempor. Cras vestibulum bibendum augue. Praesent egestas leo in pede. Praesent blandit odio eu enim. Pellentesque sed dui ut augue blandit sodales. Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia Curae; Aliquam nibh. Mauris ac mauris sed pede pellentesque fermentum. Maecenas adipiscing ante non diam sodales hendrerit.

355/113

{{C|Propriétés algébriques du logarithme|4}}

mathématiques

L'avancement est : 3

École polytechnique

La présentation de ce cours n'a pas été rédigée. Pour le faire, cliquez ici.

[] 

 Leçons

Leçon 1 : Introduction à la mécanique des fluides Leçon 2 : Statique des fluides Leçon 3 : Cinématique des fluides Leçon 4 : Conservation de la masse et équation de continuité Leçon 5 : Dynamique des fluides parfaits

Leçon 6 : Dynamique des fluides newtoniens Leçon 7 : Dynamique des fluides visqueux Leçon 8 : Dynamique des fluides compressibles Leçon 9 : Réseaux hydrauliques Leçon 10 : Analyse dimensionnelle et similitude

[]

 Quiz

Aucun quiz n'a été ajoutée. Pour le faire, cliquer ici.

[]

 Feuilles d'exercices

Aucune feuille d'exercices n'a été ajoutée. Pour le faire, cliquer ici.

[]

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

De quoi s'agit-il ?

Définition

Soit f_n une fonction paramétrée par le paramètre n, ce qui signifie que dans l’expression de f_n(x) figurent à la fois x et n. Nous supposerons que cette fonction réalise une bijection d’un intervalle I vers un intervalle J contenant 0, ce qui entraîne que l’équation f_n(x) = 0 admet une solution et une seule sur l’intervalle I. Comme cette solution dépend de n, on peut alors définir une suite (u_n)_n∈ℕ en disant que u_n est l’unique solution de l’équation f_n(x) = 0 sur l’intervalle I.

Nous allons essayer de trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ ou mieux, un développement asymptotique. Si f_n est croissante, posons par exemple : g_n(x) = f_n(x) + x.

Nous ne sommes pas obligés de choisir pour g_n une telle expression. Nous recherchons seulement une expression de x vérifiant : g_n(x) = x (pour d’autres possibilités, voir les exemples).

Sur I, g_n sera croissante comme somme de fonctions croissantes.

Nous avons :

$f_{n}(x)=0\Leftrightarrow g_{n}(x)-x=0\Leftrightarrow g_{n}(x)=x$.

Nous avons besoin de deux valeurs a(n) et b(n), vérifiant a(n) < b(n) et telles que f_n(a(n)) et f_n(b(n)) soient de signes contraires sur l’intervalle I. On pourra alors écrire :

$\forall n\qquad a(n)<u_{n}<b(n)$.

Dans les expressions de a(n) et b(n) ne figure pas forcément n.

Si f_n est décroissante, on peut aussi poser g_n(x) = f_n(x) + x.

Mais si, sur l’intervalle [a(n), b(n)], g_n change de variation, on peut aussi poser g_n(x) = f_n(x) – x.

Sur I, g_n sera alors décroissante, comme somme de fonctions décroissantes.

Dans ce cas, l’équation f_n(x) = 0 sera équivalente à l’équation g_n(x) = –x

Pour fixer les idées, nous supposerons f_n et g_n croissantes.

La fonction g_n, étant croissante sur [a(n), b(n)], elle sera bijective sur ce même intervalle et par conséquent admettra une fonction réciproque g_n^–1. On aura :

$\left(g_{n}^{-1}\right)'(u_{n})={\frac {1}{g_{n}'\left(g_{n}^{-1}(u_{n})\right)}}={\frac {1}{g_{n}'(u_{n})}}$

Par conséquent, si dans un voisinage de u_n, on a |g_n'(x)| > 1, on aura |g_n⁻¹'(x)| < 1, dans ce même intervalle, et inversement. Posons alors h_n égale à celle des deux fonctions, g_n ou g_n^–1, dont la dérivée est inférieure à 1 en valeur absolue dans un voisinage de u_n.

h_n vérifiera donc les deux conditions :

${\begin{cases}h_{n}(u_{n})=u_{n}\\\exists \epsilon \quad \forall x\in \left]u_{n}-\epsilon ,u_{n}+\epsilon \right[\quad \left|h_{n}'(x)\right|<1.\end{cases}}$

Considérons l’encadrement :

$\forall n\qquad a(n)<u_{n}<b(n)$.

Si :

$\lim _{n\to \infty }a(n)=\lim _{n\to \infty }b(n)$,

nous pouvons en déduire, en utilisant le théorème d'encadrement, la limite de la suite (u_n).

Sinon, nous prendrons l’image par h_n des trois membres, ce qui aura pour effet de nous donner un encadrement plus étroit de u_n (ceci à cause du fait que h_n’(x) < 1). En réitérant cette opération plusieurs fois, nous obtiendrons des encadrements de u_n de plus en plus étroits jusqu’à pouvoir en déduire un développement asymptotique de u_n de plus en plus poussé.

Exemple 1

On considère la fonction f_n définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\qquad f_{n}(x)=x-n\ln x$.

On montre aisément que f_n est décroissante sur ]0, n[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]n(1 – lnn), +∞[. Pour n ≥ 3, comme 0 ∈ ]n(1 – lnn), +∞[, l’équation f_n(x) = 0 admet, sur ]0, n[, une solution et une seule que l’on peut appeler u_n et l’on définit ainsi une suite (u_n)_n∈ℕ.

$f_{n}(u_{n})=0\Leftrightarrow u_{n}-n\ln u_{n}=0\Leftrightarrow n\ln u_{n}=u_{n}$.

Posons :

$g_{n}(x)=n\ln x=x-f_{n}(x)$.

g_n est croissante comme somme de fonctions croissantes.

De plus :

$\forall x\in \left]0,n\right[\qquad g_{n}'(x)={\frac {n}{x}}>1$.

Par conséquent, nous choisirons pour h_n la fonction réciproque de la fonction g_n.

Comme :

$n\ln x=y\Leftrightarrow x=\mathrm {e} ^{\frac {y}{n}}$,

on posera :

$h_{n}(x)=\mathrm {e} ^{\frac {x}{n}}$.

On peut vérifier que $\left]0,n\right[$ est stable par $h_{n}$

et

$\forall x\in \left]0,n\right[\qquad h_{n}'(x)<1$.

Comme h_n est strictement croissante et fixe u_n, on a, en notant h_n^k la k-ième itérée de h_n :

$0<u_{n}<n\Rightarrow 1=h_{n}(0)<u_{n}<h_{n}(n)=\mathrm {e} \Rightarrow h_{n}(1)<u_{n}<h_{n}(\mathrm {e} )\Rightarrow \dots \Rightarrow h_{n}^{3}(1)<u_{n}<h_{n}^{3}(\mathrm {e} )$.

Or pour x fixé (égal à 1 ou e), on a successivement (en utilisant le développement limité à l'ordre en 0 de la fonction exponentielle à des ordres de plus en plus grands) :

$h_{n}(x)=\exp \left({\frac {x}{n}}\right)=1+o(1)$

$h_{n}^{2}(x)=\exp \left({\frac {h_{n}(x)}{n}}\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)\right)=1+{\frac {1}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)$

${\begin{aligned}h_{n}^{3}(x)&=\exp \left({\frac {h_{n}^{2}(x)}{n}}\right)\\&=\exp \left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right)\\&=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\\&=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}$

ce qui, puisque $h_{n}^{3}(1)<u_{n}<h_{n}^{3}(\mathrm {e} )$, permet de conclure :

$u_{n}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$.

Nous pouvons obtenir ainsi un développement limité de u_n à n’importe quel ordre.

Remarque

Plus simplement, $g:\left]0,\mathrm {e} \right[\to \left]-\infty ,1/\mathrm {e} \right[,\;x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}$ est une bijection nulle au point 1, dont le d.l. à l'ordre 2 en ce point :

$g(1+h)=h-{\frac {3h^{2}}{2}}+o(h^{2})$

permet de calculer celui de $g^{-1}$ au point 0 :

$g^{-1}(y)=1+ay+by^{2}+o(y^{2})$

avec

$1+h=1+a\left(h-{\frac {3h^{2}}{2}}\right)+bh^{2}+o(h^{2})$

c'est-à-dire

$a=1$ et $b={\frac {3a}{2}}={\frac {3}{2}}$.

Par conséquent,

$g^{-1}(y)=1+y+{\frac {3y^{2}}{2}}+o(y^{2})$,

en particulier

$u_{n}=g^{-1}\left({\frac {1}{n}}\right)=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$.

Exemple 2

Reprenons la même fonction f_n que dans l’exemple précédent.

$\forall x\in \mathbb {R} _{*}^{+}\qquad f_{n}(x)=x-n\ln x$

mais cette fois, considérons l’intervalle [n, n²], en supposant n ≥ 3.

On montre aisément que pour n ≥ 3, f_n est croissante sur ]n, n²[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]n – nlnn, n² – 2nlnn[.

Vérifions que 0 ∈ ]n – nlnn, n² – 2nlnn[, c'est-à-dire 1 < lnn < n/2.

Pour n ≥ 3, on a bien lnn > ln e = 1. Pour la seconde inégalité, on peut par exemple étudier la fonction h(x) = x – 2lnx. On a h'(x) = 1 – 2/x donc h est croissante sur [2, +∞[ et pour n ≥ 3, on a bien n/2 – lnn = h(n)/2 > h(e)/2 = (e – 2)/2 > 0.

Par conséquent, 0 ∈ ]n – nlnn, n² – 2nlnn[.

L’équation f_n(x) = 0 admet donc sur ]n, n²[ une solution et une seule, que l’on peut appeler v_n, et l’on définit ainsi une suite (v_n)_n∈ℕ.

$f_{n}(v_{n})=0\Leftrightarrow v_{n}-n\ln v_{n}=0\Leftrightarrow n\ln v_{n}=v_{n}$.

Posons :

$g_{n}(x)=n\ln x=x-f_{n}(x)$.

g_n est croissante comme somme de fonctions croissantes.

De plus :

$\forall x\in \left]n,n^{2}\right[\qquad g_{n}'(x)={\frac {n}{x}}<1$.

Par conséquent, nous choisirons pour h_n, la fonction g_n :

$h_{n}(x)=n\ln x$.

Partons de l’encadrement :

$n<v_{n}<n^{2}$.

En prenant l’image des trois membres par h_n, qui est croissante sur ]n, n²[ et qui fixe v_n, on obtient :

$h_{n}(n)<v_{n}<h_{n}(n^{2})$,

qui donne :

$n\ln n<v_{n}<2n\ln n$.

Cet encadrement étant encore trop large pour en déduire un équivalent de v_n, prenons à nouveau l’image par h_n des trois membres. On obtient :

$h_{n}\left(h_{n}(n)\right)<v_{n}<h_{n}\left(h_{n}(n^{2})\right)$,

Or pour $\mathrm {e} \leq x_{n}=O\left(n^{2}\right)$ (en particulier pour x_n égal à n ou n²), on a $1\leq \ln(x_{n})=O\left(\ln n\right)$ donc

$h_{n}\left(h_{n}(x_{n})\right)=n\ln \left(n\ln x_{n}\right)=n\left(\ln n+O\left(\ln \ln n\right)\right)\sim n\ln n$,

ce qui nous permet de conclure :

$v_{n}\sim n\ln n$.

Remarque

Plus simplement,

$g:\left]\mathrm {e} ,+\infty \right[\to \left]0,1/\mathrm {e} \right[,\;x\mapsto {\frac {\ln x}{x}}$

est une bijection de limite nulle en +∞ et

$\ln g(x)\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,-\ln x$

donc

$x={\frac {\ln x}{g(x)}}\,{\underset {x\to +\infty }{\sim }}\,-{\frac {\ln g(x)}{g(x)}}$

c'est-à-dire

$g^{-1}(y)\,{\underset {y\to 0}{\sim }}\,-{\frac {\ln y}{y}}$,

en particulier

$v_{n}=g^{-1}\left({\frac {1}{n}}\right)\sim -{\frac {\ln(1/n)}{1/n}}=n\ln n$.

 Devoirs

Aucun devoir n'a été ajouté. Pour le faire, cliquer ici.

[]

 Dissertations

Aucune dissertation n'a été ajoutée. Pour le faire, cliquer ici.

[]

 Travaux pratiques

Aucun travaux pratiques n'a été ajoutés. Pour le faire, cliquer ici.

[]

 Sujets d'examens

Aucun sujet d'examen n'a été ajouté. Pour le faire, cliquer ici.

[]

Aucun Compléments n'a été ajoutés. Pour le faire, cliquer ici.

[]

Objectifs

Les objectifs de ce cours sont :

Les objectifs de ce cours n'ont pas encore été fixés. Pour le faire, cliquez ici.

ces objectifs

Niveau et prérequis conseillés

Cours de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :

Les prérequis pour ce cours n'ont pas encore été précisés. Pour le faire, cliquez ici.

ces prérequis

 Voir aussi

Personne n'a créé cette section.

[]

Référents

Ces personnes sont prêtes à vous aider concernant ce cours :

Personne ne s'est déclaré prêt à aider pour ce cours. Pour vous ajouter, cliquez ici.

cette liste