Leçons de niveau 15

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Le soleil brille dans                      le ciel.

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mathématiques



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De quoi s'agit-il ?[modifier | modifier le wikicode]



Nous allons essayer de trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ ou mieux, un développement asymptotique. Si fn est croissante, posons par exemple : gn(x) = fn(x) + x.

Nous ne sommes pas obligés de choisir pour gn une telle expression. Nous recherchons seulement une expression de x vérifiant : gn(x) = x (pour d’autres possibilités, voir les exemples).

Sur I, gn sera croissante comme somme de fonctions croissantes.

Nous avons :

.

Nous avons besoin de deux valeurs a(n) et b(n), vérifiant a(n) < b(n) et telles que fn(a(n)) et fn(b(n)) soient de signes contraires sur l’intervalle I. On pourra alors écrire :

.

Dans les expressions de a(n) et b(n) ne figure pas forcément n.

Si fn est décroissante, on peut aussi poser gn(x) = fn(x) + x.

Mais si, sur l’intervalle [a(n), b(n)], gn change de variation, on peut aussi poser gn(x) = fn(x) – x.

Sur I, gn sera alors décroissante, comme somme de fonctions décroissantes.

Dans ce cas, l’équation fn(x) = 0 sera équivalente à l’équation gn(x) = –x

Pour fixer les idées, nous supposerons fn et gn croissantes.

La fonction gn, étant croissante sur [a(n), b(n)], elle sera bijective sur ce même intervalle et par conséquent admettra une fonction réciproque gn–1. On aura :

Par conséquent, si dans un voisinage de un, on a |gn'(x)| > 1, on aura |gn−1'(x)| < 1, dans ce même intervalle, et inversement. Posons alors hn égale à celle des deux fonctions, gn ou gn–1, dont la dérivée est inférieure à 1 en valeur absolue dans un voisinage de un.

hn vérifiera donc les deux conditions :

Considérons l’encadrement :

.

Si :

,

nous pouvons en déduire, en utilisant le théorème d'encadrement, la limite de la suite (un).

Sinon, nous prendrons l’image par hn des trois membres, ce qui aura pour effet de nous donner un encadrement plus étroit de un (ceci à cause du fait que hn’(x) < 1). En réitérant cette opération plusieurs fois, nous obtiendrons des encadrements de un de plus en plus étroits jusqu’à pouvoir en déduire un développement asymptotique de un de plus en plus poussé.

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction fn définie par :

.

On montre aisément que fn est décroissante sur ]0, n[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]n(1 – lnn), +∞[. Pour n ≥ 3, comme 0 ∈ ]n(1 – lnn), +∞[, l’équation fn(x) = 0 admet, sur ]0, n[, une solution et une seule que l’on peut appeler un et l’on définit ainsi une suite (un)n∈ℕ.

.

Posons :

.

gn est croissante comme somme de fonctions croissantes.

De plus :

.

Par conséquent, nous choisirons pour hn la fonction réciproque de la fonction gn.

Comme :

,

on posera :

.

On peut vérifier que est stable par

et

.

Comme hn est strictement croissante et fixe un, on a, en notant hnk la k-ième itérée de hn :

.

Or pour x fixé (égal à 1 ou e), on a successivement (en utilisant le développement limité à l'ordre en 0 de la fonction exponentielle à des ordres de plus en plus grands) :

ce qui, puisque , permet de conclure :

.


Nous pouvons obtenir ainsi un développement limité de un à n’importe quel ordre.




Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons la même fonction fn que dans l’exemple précédent.

mais cette fois, considérons l’intervalle [n, n2], en supposant n ≥ 3.

On montre aisément que pour n ≥ 3, fn est croissante sur ]n, n2[ et réalise donc une bijection de cet intervalle vers l’intervalle ]nnlnn, n2 – 2nlnn[.

Vérifions que 0 ∈ ]nnlnn, n2 – 2nlnn[, c'est-à-dire 1 < lnn < n/2.

Pour n ≥ 3, on a bien lnn > ln e = 1. Pour la seconde inégalité, on peut par exemple étudier la fonction h(x) = x – 2lnx. On a h'(x) = 1 – 2/x donc h est croissante sur [2, +∞[ et pour n ≥ 3, on a bien n/2 – lnn = h(n)/2 > h(e)/2 = (e – 2)/2 > 0.

Par conséquent, 0 ∈ ]nnlnn, n2 – 2nlnn[.

L’équation fn(x) = 0 admet donc sur ]n, n2[ une solution et une seule, que l’on peut appeler vn, et l’on définit ainsi une suite (vn)n∈ℕ.

.

Posons :

.

gn est croissante comme somme de fonctions croissantes.

De plus :

.

Par conséquent, nous choisirons pour hn, la fonction gn :

.

Partons de l’encadrement :

.

En prenant l’image des trois membres par hn, qui est croissante sur ]n, n2[ et qui fixe vn, on obtient :

,

qui donne :

.

Cet encadrement étant encore trop large pour en déduire un équivalent de vn, prenons à nouveau l’image par hn des trois membres. On obtient :

,

Or pour (en particulier pour xn égal à n ou n2), on a donc

,

ce qui nous permet de conclure :


.





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