Triangles et parallèles/Exercices/Sujet de brevet

Sujet 1

ABCD est un rectangle tel qu'AB = 8 cm et BC = 5 cm. ses diagonales se coupent en K.

Soit M le milieu d'un côté [CD] et H le milieu du segment [AM].

Schéma :

1. Démontrer que les droites (HK) et (CM) sont parallèles.

2. Calculer la longueur HK.

3. Calculer la mesure de l'angle $\scriptstyle D{\widehat {A}}M$, on donnera le résultat arrondi au degré.

4. Démontrer que l'aire du triangle AMC est égale à 10 cm². En déduire l'aire du triangle AHK.

Solution

1. Par hypothèse, H est le milieu de [AM] et selon les propriétés du rectangle : Ses diagonales se coupent en leur milieu; donc K est milieu de la diagonale [AC]. Selon l'un des théorèmes des milieux (1er), la droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Or, (HK) passe par les milieux du segment [AM] et [AC] qui sont deux côtés du triangle AMC.

Donc (HK) et (CM) sont parallèles.

2. Calculer la longueur HK.

Selon la propriété métrique des milieux : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du 3^e côté.

Sachant que MC = 4 cm (DC: 2) et que HK joint les milieux de [AC] et de [AM],

HK = MC : 2 = 2

Donc HK = 2 cm

3. Je sais que :

• DAM est un triangle rectangle en D
• AM est hypoténuse
• DM = 4 cm
• AD = 5 cm

Je trouve la mesure manquante grâce au théorème direct de Pythagore :

D'après la propriété directe de Pythagore, on a :

Dans le triangle DAM rectangle en D :

AM = ?

AM²= DM²+AD²

AM²= 25+16

AM²= 41

AM = √41

AM ≈ 6,403 12 cm

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Revenons à nos moutons : nous cherchons donc $\scriptstyle D{\widehat {A}}M$

On a la formule : $\sin \scriptstyle D{\widehat {A}}M={\frac {DM}{AM}}={\frac {4}{6,40312}}\approx 0,62469$

et : $\scriptstyle D{\widehat {A}}M=sin^{-1}(0,62469)\approx 39^{\circ }$

Donc $\scriptstyle D{\widehat {A}}M\approx$ 39°

4. Dans le triangle AMC :

$Aire={\frac {bh}{2}}$

$Aire={\frac {AD\times MC}{2}}$

$Aire={\frac {5\times 4}{2}}$

Aire = 10 cm²

Donc l'aire du triangle AMC est de 10 cm2.

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Dans le triangle AHK :

$Aire={\frac {bh}{2}}$

$Aire={\frac {AD\div 2\times HK}{2}}$

$Aire={\frac {2.5\times 2}{2}}$

Aire = 2,5 cm²

Donc l'aire du triangle AHK est de 2,5 cm².