En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Configurations Translation et homothétie/Exercices/Configurations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Pour tout point , on note , et les symétriques de par rapport à , et . On se propose de montrer que , et ont même milieu , et que les points , et sont alignés.
Montrez qu'il existe une homothétie qui transforme en . Précisez ses éléments caractéristiques.
Montrez qu'il existe une homothétie qui transforme en .
Concluez en considérant la transformation .
Solution
L'homothétie de centre et de rapport convient car, par exemple : .
L'homothétie de centre et de rapport convient, par définition de , et .
est une symétrie centrale qui transforme en . Son centre est donc le milieu de , et . De plus, donc , et sont alignés.
et les cercles circonscrits, respectivement, à et .
Déterminez les homothéties qui transforment en .
Démontrez que passe par :
les milieux de , et , où désigne l'orthocentre de ;
les pieds des hauteurs de .
Solution
L'homothétie de centre (le centre de gravité commun à et ) et de rapport transforme en donc en . Par conséquent (cf. Exercice 3-1 ci-dessus) il y a deux homothéties transformant en , la seconde, , a pour rapport et, en notant son centre, on a : et , où et désignent les centres des deux cercles.
Les points , et appartiennent à et sont, par définition de , les milieux de , et . Montrons que est l'orthocentre de . Il suffit de montrer que est une hauteur de (il en sera de même pour et ). D'après la question 1, donc , or est la médiatrice de . On a donc bien .
Soit le point en lequel recoupe . Alors, . Montrons que , ce qui prouvera que est le pied d'une hauteur de (et de même, passera par les pieds des deux autres hauteurs). Le point est égal à donc diamétralement opposé à . Par conséquent, donc (en appliquant ) , c'est-à-dire . Puisque , on a donc bien .