Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations
Exercice 2-1
[modifier | modifier le wikicode]Soit et deux points d'un plan.
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
1° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
2° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
3° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur .
4° est la translation de vecteur .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur , où est le milieu de .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , c'est-à-dire le symétrique de par rapport à .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
Exercice 2-2
[modifier | modifier le wikicode]Soient :
- trois points d'un plan ;
- l'homothétie de centre et de rapport ;
- la translation de vecteur .
Donnez la nature des transformations et et construisez leurs centres.
et sont deux homothéties de rapport . Notons et leurs centres respectifs.
- donc .
- donc .
Remarque : la donnée des points et ne sert pas : seul le vecteur de la translation est utile.
Exercice 2-3
[modifier | modifier le wikicode]Soient :
- une homothétie, de centre et de rapport ;
- une translation, de vecteur .
Montrer que dans le cas général, . Dans quels cas a-t-on l'égalité ?
Pour tout point , on a et .
On en déduit : et .
On a donc égalité si et seulement si , c'est-à-dire ou k=1, c'est-à-dire ou .
On rappelle que et sont des homothéties de rapport . En supposant , nous noterons :
- le centre de ;
- celui de ;
- l'image de par .
Montrez que :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par la question précédente.
- D'après les questions 3 et 1, , donc .
- est aussi le centre de donc en remplaçant et par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : .