Translation et homothétie/Exercices/Échauffement

Exercice 1-1

Soient :

• $A,\,B,\,C$ trois points d'un plan ;
• $f$ la translation de vecteur ${\vec {AB}}$ ;
• $g$ la translation de vecteur ${\vec {BC}}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est la translation de vecteur ${\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}$.

 

Exercice 1-2

Soient :

• $f$ une homothétie de rapport ${\frac {1}{2}}$ d'un plan ;
• $A$ son centre ;
• $g$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est l'identité du plan.

 

Exercice 1-3

Soient :

• $f$ une homothétie de rapport $3$ ;
• $A$ son centre ;
• $g$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-{\frac {1}{3}}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est la symétrie par rapport à $A$.

 

Exercice 1-4

Soient :

• $A,\,B$ deux points distincts d'un plan ;
• $f$ la symétrie par rapport à $A$ ;
• $g$ la symétrie par rapport à $B$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {Ag(A)}}=2{\vec {AB}}$.

$f\circ g$ est sa bijection réciproque : la translation de vecteur ${\overrightarrow {Bf(B)}}=2{\vec {BA}}$.

 

Exercice 1-5

Soient :

• $A,\,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport ${\frac {3}{2}}$.
• $g$ la translation de vecteur ${\vec {AB}}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ ?

Solution

C'est l'homothétie de rapport ${\frac {3}{2}}$ qui envoie $A$ sur $B$. Son centre est donc le point $I$ tel que ${\vec {IB}}={\frac {3}{2}}{\vec {IA}}$, c'est-à-dire : $I=A-2{\vec {AB}}$.

 

Exercice 1-6

Soient :

• $A,\,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ ;
• $g$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-{\frac {3}{2}}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ ?

Solution

C'est l'homothétie de rapport $-3$ qui envoie $A$ sur $g(A)=B-{\frac {3}{2}}{\vec {BA}}$. Son centre est donc le point $I$ tel que ${\vec {IB}}-{\frac {3}{2}}{\vec {BA}}=-3{\vec {IA}}$, soit $I=A+{\frac {5}{8}}{\vec {AB}}$.

 

Exercice 1-7

Soient :

• $A,\,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ ;
• $g$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g\circ f$ ?

Solution

$g\circ f$ est la symétrie ponctuelle qui envoie $A$ sur $g(A)=B+{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}$. Son centre est donc le point $I$ tel que ${\vec {IB}}+{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}=-{\vec {IA}}$, soit : $I=A+{\frac {1}{4}}{\vec {AB}}$.

 

Exercice 1-8

Soient :

• $B$ et $C$ deux points distincts et fixes ;
• $A$ un point mobile décrivant une droite $\Delta$ ;
• $J$ le milieu de $[AC]$ ;
• $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

Déterminez les lieux géométrique de $J$ et $G$ lorsque $A$ décrit $\Delta$.

Solution

• $J$ décrit l'image de $\Delta$ par l'homothétie de centre $C$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.
• $G$ décrit l'image de $\Delta$ par l'homothétie de centre le milieu de $[BC]$ et de rapport ${\frac {1}{3}}$.