Translation et homothétie/Exercices/Échauffement

Exercice 1-1

Soient :

• $A,B,C$ trois points d'un plan ;
• $f$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ ;
• $g$ la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

 

Exercice 1-2

Soient :

• $f$ une homothétie de rapport $\frac{1}{2}$ d'un plan ;
• $A$ son centre ;
• $g$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est l'identité du plan.

 

Exercice 1-3

Soient :

• $f$ une homothétie de rapport $3$ ;
• $A$ son centre ;
• $g$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-\frac{1}{3}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f=f\circ g$ est la symétrie par rapport à $A$.

 

Exercice 1-4

Soient :

• $A,B$ deux points distincts d'un plan ;
• $f$ la symétrie par rapport à $A$ ;
• $g$ la symétrie par rapport à $B$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ et $f\circ g$ ?

Solution

$g\circ f$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{Ag(A)}=2\overrightarrow{AB}$.

$f\circ g$ est sa bijection réciproque : la translation de vecteur $\overrightarrow{Bf(B)}=2\overrightarrow{BA}$.

 

Exercice 1-5

Soient :

• $A,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\frac{3}{2}$.
• $g$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ ?

Solution

C'est l'homothétie de rapport $\frac{3}{2}$ qui envoie $A$ sur $B$. Son centre est donc le point $I$ tel que $\overrightarrow{IB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{IA}$, c'est-à-dire : $I=A-2\overrightarrow{AB}$.

 

Exercice 1-6

Soient :

• $A,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ ;
• $g$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-\frac{3}{2}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de $g\circ f$ ?

Solution

C'est l'homothétie de rapport $-3$ qui envoie $A$ sur $g(A)=B-\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$. Son centre est donc le point $I$ tel que $\overrightarrow{IB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}=-3\overrightarrow{IA}$, soit $I=A+\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}$.

 

Exercice 1-7

Soient :

• $A,B$ deux points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ ;
• $g$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\frac{1}{2}$.

Quels sont la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g\circ f$ ?

Solution

$g\circ f$ est la symétrie ponctuelle qui envoie $A$ sur $g(A)=B+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. Son centre est donc le point $I$ tel que $\overrightarrow{IB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{IA}$, soit : $I=A+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.

 

Exercice 1-8

Soient :

• $B$ et $C$ deux points distincts et fixes ;
• $A$ un point mobile décrivant une droite $\mathrm{\Delta }$ ;
• $J$ le milieu de $[AC]$ ;
• $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.

Déterminez les lieux géométrique de $J$ et $G$ lorsque $A$ décrit $\mathrm{\Delta }$.

Solution

• $J$ décrit l'image de $\mathrm{\Delta }$ par l'homothétie de centre $C$ et de rapport $\frac{1}{2}$.
• $G$ décrit l'image de $\mathrm{\Delta }$ par l'homothétie de centre le milieu de $[BC]$ et de rapport $\frac{1}{3}$.