Topographie de champ/Lignes de champ

**Lignes de champ**
Leçon : Topographie de champ

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Introduction générale
Chap. suiv. :	Équipotentielles

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topographie de champ : Lignes de champ
Topographie de champ/Lignes de champ », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Nous commençons par le cas des champs vectoriels, dont l'approche est peut-être plus simple. À tout point de l'espace, les champs vectoriels associent un vecteur, c'est-à-dire une direction et une intensité. Dans ce chapitre, on renonce (au moins en apparences) à l'intensité.

Définition

Que se passerait-il si, partant d'un point, on suivait la direction indiquée par ces vecteurs ? La trajectoire que l’on décrirait en faisant cela est appelée ligne de champ. Plus précisément :

Ligne de champ

Soit un champ vectoriel E. Il a en tout point les coordonnées : $\mathbf {E} ={\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}$ On appelle ligne de champ toute courbe en tout point tangente à E.

L'idée sera ainsi de tracer plusieurs lignes de champ — une quantité raisonnable — pour avoir une idée du champ. Tout d’abord, essayons d'expliciter des courbes. On peut définir une courbe comme l'enchaînement^[1] de « courbes infinitésimales » dr. Les lignes de champ étant toujours tangentes au champ, chaque dr doit l'être également, ainsi : $\mathrm {d} \mathbf {r} =k\cdot \mathbf {E}$ Ce qui nous amène à résoudre un système d'équations de la forme : ${\begin{cases}\mathrm {d} x=kE_{x}\\\mathrm {d} y=kE_{y}\\\mathrm {d} z=kE_{z}\end{cases}}$ On peut ramener cela à une simple équation (différentielle) : ${\frac {\mathrm {d} x}{E_{x}}}={\frac {\mathrm {d} y}{E_{y}}}={\frac {\mathrm {d} z}{E_{z}}}$

Exemple simple

On prend pour exemple une unique charge positive (+q) située en l'origine. Le système de coordonnées naturelles dans ce cas est celui des coordonnées sphériques. On rappelle que dans ce système de coordonnées, on repère un point M par rapport à l'origine en mesurant sa distance r à l'origine et deux angles, θ et ϕ formés par le vecteur OM. Dans ce système de coordonnées, l’expression de l'élément de courbe infinitésimal est :

$\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\r\,\mathrm {d} \theta \\r\sin \theta \,\mathrm {d} \phi \end{pmatrix}}$

Par symétrie, invariances (ou tout simplement par l’expression de la force de Coulomb…) on sait que le champ est radial et ne dépend que de r :

${\begin{cases}\mathrm {d} r=kE_{r}\\\mathrm {d} \theta =0\\\mathrm {d} \phi =0\end{cases}}$

Les lignes de champ sont les rayons issus de la charge. Elles sont orientées dans le sens opposé à la charge (pour une charge négative, les lignes de champs pointent vers la charge).

Tube de champ

Soit un contour (c'est-à-dire une courbe fermée) C. On appelle tube de champ s'appuyant sur C l’ensemble des lignes de champ passant par C.

Cette notion est parfois utile en mécanique des fluides : on représente le mouvement des particules (en fait, leur vitesse) par un champ vectoriel.Les particules dans un tube de champ n'en sortent pas, et on peut ainsi prédire leur déplacement.

Propriétés

Propriétés

Les lignes de champ ne se croisent jamais, sauf :

là où le champ est nul ;
là où le champ n’est pas défini (par exemple sur les charges).

Ces point sont appelés points singuliers. Une ligne de champ sans point singulier ne peut pas être une courbe fermée.

On suppose désormais que les champs sont créés par des charges.

Comportement à grande distance

À grande distance, les lignes de champ sont les mêmes que celles d'un champ créé par une charge ponctuelle unique, de valeur égale à la somme de toutes les charges en présence, appelée monopôle.

En particulier, si la charge totale est nulle (c'est le cas des dipôles notamment), le champ est nul à l'infini donc les lignes de champs admettent un point singulier à l'infini.

Comportement à courte distance

Si l’on s'intéresse à ce qui se passe à proximité immédiate des charges, on s'aperçoit que, très près de celles-ci :

les lignes de champ sont presque celles du champ créé par un charge seule, isolée ;
si les charges sont positives, les lignes divergent — si les charges sont négatives, elles convergent^[2]^,^[3].

Sur des charges ponctuelles, linéiques ou surfacique, le champ n’est pas défini^[4].

Et l'intensité ? Nous avons complètement négligé l'intensité du champ considéré pour définir les lignes de champ. De manière très qualitative, on peut toutefois dire que le champ est plus fort lorsque les lignes de champ se rapprochent, et plus faible lorsqu'elles se dispersent.

Si les champs dépendent d'un potentiel, comme c’est parfois le cas du champ électrique ou du champ des vitesses en mécanique des fluides, on peut dire que ce potentiel est décroissant lorsqu'on parcours une ligne de champ.

Tracé des lignes de champ

Le tracé des lignes de champ donne ainsi une idée du champ sous-jacent. Certes, mais cela ne vaut que tant qu’elles sont « lisibles ». Si des logiciels sont capables de calculer et dessiner les lignes de champs en trois dimensions, ces dernières ne sont généralement pas exploitables : la plupart du temps, on travaille sur des cartes de champ, c'est-à-dire sur un plan ou une section plane de l'espace. Cela est d'autant plus vrai si les champs dépendent du temps.

Le fait de tracer des lignes, les calculs mis à part, rend le processus de tracé autant manuel qu'informatique assez aisé et rapide. L'intensité, négligée pour le calcul des lignes de champ (et dans tout tracé manuel), peut être finalement représentée en faisant varier la couleur, l'épaisseur ou la luminosité des traits.

Une manière mathématiquement équivalente de trouver les équipotentielles est d’utiliser la notion de déterminant (mais cela n'est jamais obligatoire !) : $\mathrm {det} \,\left(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathbf {E} \right)=0$ est alors une relation équivalente à celle donnée plus haut.

Exemple intéressant

Soit deux charges fixes :

une charge positive (+q) située en un point d'abscisse (-d/2) et d'ordonnée 0 ;
une charge négative (-q) située en un point d'abscisse (+d/2) et d'ordonnée 0 ;

Il s'agit du « dipôle électrostatique ». On cherche les lignes de champ du champ créé par ces charges.

Symétries et invariances

Avant de se lancer dans les calculs, recherchons des moyens de les simplifier :

Symétries : les deux charges ne sont pas équivalentes, mais le système étudié est symétrique d'axe Ox. Il suffira ainsi d'étudier ce qui se passe « au dessus » des charges, les lignes de champ « au-dessous » étant leur symétriques.
Invariances : le système est seulement invariant dans le temps^[5] ce qui ne nous est pas utile ici.

Calcul des champs et des lignes de champ

Le calcul des champs électriques n’est pas l’objet de ce cours, le dipôle électrostatique étant décrit dans une autre leçon : Dipôle électrostatique. En coordonnées polaires, le champ électrique total est :

${\overrightarrow {E}}(M)={\frac {qd}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}\left(2\cos \theta {\overrightarrow {e_{r}}}+\sin \theta {\overrightarrow {e_{\theta }}}\right)$

Remarquons qu’à grande distance, un point donné est pratiquement à la même distance des deux charges. Alors, on vérifie directement que le champ est celui créé par une unique charge nulle : c’est le monopôle.

La méthode du déterminant comme la méthode « simple » amène au même calcul. L'élément de courbe est, en coordonnées polaires :

$\mathrm {d} \mathbf {r} ={\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\r\mathrm {d} \theta \end{pmatrix}}$

Les lignes de champ vérifient ainsi :

${\frac {\mathrm {d} r}{E_{r}}}={\frac {r\mathrm {d} \theta }{E_{\theta }}}$

On a ainsi :

${\frac {2\pi \varepsilon _{0}r^{3}\mathrm {d} r}{qd\cos \theta }}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}r^{4}\mathrm {d} \theta }{qd\sin \theta }}$

${\frac {\mathrm {d} r}{\cos \theta }}={\frac {2r\mathrm {d} \theta }{\sin \theta }}\Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} r}{r}}={\frac {E_{r}}{E_{\theta }}}\mathrm {d} \theta$

Donc :

${\frac {\mathrm {d} r}{r}}=2{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\mathrm {d} \theta =2{\frac {\mathrm {d} \left(\sin \theta \right)}{\sin \theta }}$

On reconnait les dérivées logarithmiques, qui donnent, à une constante K près :

$\ln {\frac {r}{K}}=2\ln \left|\sin \theta \right|=\ln \left(\sin ^{2}\theta \right)$

En fin de compte, les lignes de champ sont les courbes d'équation polaire : $r\left(\theta \right)=Ksin^{2}\theta$

Cette expression des lignes de champ n'est valable que dans l'approximation dipolaire, c'est-à-dire suffisamment loin des charges.

Remarques

↑ C'est-à-dire que l’on définit une ligne de champ comme un arc paramétré d'abscisse curviligne s et tel que : ${\overrightarrow {OM}}\left(s\right)=\int _{s_{0}}^{s}\,\mathrm {d} \mathbf {r}$ . Cela n'est bien entendu pas fondamental à la compréhension et à l’utilisation des lignes de champs.
↑ Cette remarque est en fait très générale : elle est liée au concept de divergence d'un champ de vecteurs.
↑ On montre même que les lignes de champ ne convergent et ne divergent que s'il y a des sources. Cela est à l'origine du théorème d'Earnshaw qui interdit la lévitation statique.
↑ Cela est du au fait que de telles distributions sont une simplification du cas « réel », à savoir une distribution en volume de charges. Néanmoins, leur utilisation est souvent pratique, et les champs « sur les charges » présentent peu d'intérêt.
↑ L'invariance dans le temps implique la conservation de l'énergie, c’est le théorème de Noether. De toute manière, l'énergie n'intervient pas à ce niveau.

Topographie de champ

Introduction générale

Équipotentielles

[1] C'est-à-dire que l’on définit une ligne de champ comme un arc paramétré d'abscisse curviligne s et tel que : ${\overrightarrow {OM}}\left(s\right)=\int _{s_{0}}^{s}\,\mathrm {d} \mathbf {r}$ . Cela n'est bien entendu pas fondamental à la compréhension et à l’utilisation des lignes de champs.

[2] Cette remarque est en fait très générale : elle est liée au concept de divergence d'un champ de vecteurs.

[3] On montre même que les lignes de champ ne convergent et ne divergent que s'il y a des sources. Cela est à l'origine du théorème d'Earnshaw qui interdit la lévitation statique.

[4] Cela est du au fait que de telles distributions sont une simplification du cas « réel », à savoir une distribution en volume de charges. Néanmoins, leur utilisation est souvent pratique, et les champs « sur les charges » présentent peu d'intérêt.

[5] L'invariance dans le temps implique la conservation de l'énergie, c’est le théorème de Noether. De toute manière, l'énergie n'intervient pas à ce niveau.

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