Leçons de niveau 14

Analyse vectorielle/Divergence

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Divergence
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Chapitre no 3
Leçon : Analyse vectorielle
Chap. préc. : Gradient
Chap. suiv. : Rotationnel
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Analyse vectorielle/Divergence
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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

L'opérateur divergence est un outil d'analyse vectorielle qui mesure, pour faire simple, si un champ vectoriel « rentre » ou « sort » d'une zone de l'espace, comme ce que l’on peut observer sur un diagramme de lignes de champ. Il donne donc une information très liée aux sources qui créent le champ.

Comme nous le préciserons, l'opérateur divergence est l'équivalent local de la mesure d'un flux.

Définition[modifier | modifier le wikicode]


Interprétations physiques[modifier | modifier le wikicode]

On peut interpréter le signe de la divergence en termes de « sources ». Cela est notamment flagrant en électromagnétisme, où le lien est direct :

(équation de Maxwell-Gauss)

Ici, la divergence du champ électrique est liée à la densité de charges, ρ. Si les charges sont positives, la divergence est positive. De même si les charges sont négatives.

Une autre interprétation possible est en termes de « compression » : si le champ représente le mouvement de particules, une divergence non nulle implique que des particules se concentrent (ou s'éloignent) d'une zone de l'espace. En mécanique des fluides, un fluide incompressible est donc caractérisé par :

Enfin, une dernière interprétation est en termes de « volume » : le volume formé par des particules dans le flot du champ augmente si la divergence est positive et diminue si elle est négative.

Propriétés de l'opérateur divergence[modifier | modifier le wikicode]

Comme l'opérateur gradient, l'opérateur divergence est linéaire :


L'opérateur , appelé opérateur laplacien, est l’objet d'un prochain chapitre.

Théorème de la divergence[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème de la divergence relie flux sur une surface et divergence sur un volume.

Le théorème de la divergence, ou théorème de Green-Ostrogradski, qui n'est qu'une forme particulière du théorème de Stokes, trace un lien entre le flux et la divergence.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Dans cet énoncé, représente , où est le vecteur normal à la surface. C’est ce théorème qui justifie l'écriture locale du théorème de Gauss en électromagnétisme sous la forme de l'équation de Maxwell-Gauss.

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]