Leçons de niveau 15

Thermodynamique statistique/Extension à la mécanique quantique

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Extension à la mécanique quantique
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Chapitre no 6
Leçon : Thermodynamique statistique
Chap. préc. :Ensemble isotherme-isobare
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Thermodynamique statistique/Extension à la mécanique quantique
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Dans cette partie du cours, on va considérer un gaz de particules identiques supposé parfait.

Particule dans une boîte : petite incursion dans la mécanique quantique[modifier | modifier le wikicode]

Cas unidimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

On considère une particule en translation suivant un axe x, enfermée dans un puits de potentiel à murs infinis de longueur L. On suppose le potentiel nul entre les abscisses 0 et L. Cette particule est représentable par une onde plane. En choisissant le formalisme d'une onde plane monochromatique dans une cavité, on en vient à un problème d'onde stationnaire. On sait alors que la longueur d'onde est quantifiée par

Ceci entraîne la quantification du vecteur d'onde :

Rappel : Le hamiltonien vaut

On en tire la quantification de l'énergie :

Cas tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

Si la particule est en translation dans une « boîte de potentiel » cubique de côté L, la quantification se fait dans chaque direction du mouvement :

Expression intégrale de la fonction de partition[modifier | modifier le wikicode]

Factorisation de la fonction de partition pour N particules sans interactions[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce cas, la fonction de partition à N corps se factorise en un produit de N fonctions de partition à un corps.

où apparaissent les fonctions de partition à une particule :

Approximation du continuum[1][modifier | modifier le wikicode]

Cas unidimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

La fonction de partition à une particule dans le cas unidimensionnel s'écrit :

On va justifier que cette somme peut être remplacée par une intégrale. On calcule l'écart entre deux niveaux d'énergie consécutifs :

Application aux petites particules :

Pour une masse kg dans une boîte de longueur L = 1 cm, à des températures de l’ordre d'environ 10 K :

On peut donc plus que raisonnablement considérer que pour tous les états d'énergie accessibles :

On peut donc considérer les développements limités des expressions précédentes :

On arrive donc à :

Début d’un principe
Fin du principe


Généralisation à l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'espace, la fonction de partition à une particule devient :

Cette somme, grâce à la même approximation que dans le cas à une dimension, peut être remplacée par une intégrale :

On se place dans une boîte cubique de côté L. La quantification des vecteurs d'onde conduit à :

D'où

Or

Donc

Finalement :

Longueur d'onde thermique[modifier | modifier le wikicode]

On reprend l’expression de la fonction de partition à une particule :

On sait que:

On pose alors le changement de variable , d'où

D'où la fonction de partition à une particule :



Physiquement, Λ correspond à l'extension spatiale du paquet d'ondes associé à la particule.

La fonction de partition à une particule devient .



Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. « Cours de physique statistique », Claire Lhuillier