Théorie physique des distributions/Fiche/Table des transformées de Fourier

Fiche mémoire sur les transformées de Fourier usuelles

Le tableau qui suit présente les fonctions usuelles et leur transformée dans le cas où on utilise la convention la plus fréquente conforme à la définition mathématique.

Transformée de Fourier	Transformée de Fourier inverse
${\mathcal {F}}[s](f)={\hat {s}}(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t$	${\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {s}}](t)=s(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {s}}(f)\cdot \mathrm {e} ^{+{\rm {j}}.2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} f$

Quelques unes des démonstrations sont données dans le chapitre : Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles.

Fonction	Représentation temporelle	Représentation fréquentielle
Pic de Dirac	$\delta (t)$	$1$
Pic de Dirac décalé de $t_{0}$	$\delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})$	$\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t_{0}}$
Peigne de Dirac $T_{e}={\frac {1}{f_{e}}}$	$\mathrm {III} _{T_{e}}(t)$	$\mathrm {III} _{f_{e}}(f)$
Fonction porte de largeur $T_{0}$	$\Pi _{{T_{0}}/2}(t)$	${T_{0}}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.{T_{0}})$
Constante	$1$	$\delta (f)$
Exponentielle complexe	$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}$	$\delta (f-f_{0})$
Sinus	$\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$	${\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$
Cosinus	$\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})$	${\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)$
Sinus cardinal	$2\cdot f_{0}\cdot {\rm {sinc}}(2\pi .f_{0}.t)$	$\Pi _{2f_{0}}(f)$

^*Représentation du spectre d'amplitude