Leçons de niveau 14

Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles

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Fonctions utiles
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Chapitre no 5
Leçon : Série et transformée de Fourier en physique
Chap. préc. :Propriétés de la transformée de Fourier
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Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles
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Certaines fonctions sont fréquemment utilisées en physique du fait de leur simplicité ou de leur intérêt pratique. Quelques unes d'entres elles sont rassemblées dans la fiche mémoire. Ce chapitre les présente un peu plus en détails.

Pic de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

30x-Checkmark.png

Représentation temporelle
Représentation fréquentielle

La distribution de Dirac (pic de Dirac) à l'instant peut être définie, de façon abusive, comme suit :

.
Cette définition n’est pas vraiment rigoureuse mais nous suffira pour ce chapitre. De plus, en physique on s'intéresse principalement à l'énergie ou à la puissance du signal. On représente souvent le spectre d'amplitude du pic de Dirac avec une valeur unité qui, en réalité, correspond à son énergie.

Sa transformée de Fourier est constante : , ce qui signifie qu'un pic de Dirac comporte toutes les fréquences.

OOjs UI icon logo-wikipedia.svg Plus de détails dans l’article wikipédia : Distribution de Dirac.

La distribution de Dirac à l'instant correspond au pic de Dirac décalé dans le temps :

.

Sa transformée de Fourier a la même amplitude mais présente un retard de phase :

.

30x-Tools.png

Manipulations utiles

Peigne de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

Représentation temporelle
Wikipédia possède un article à propos de « Peigne de Dirac ».

La distribution peigne de Dirac est une somme de distributions de Dirac espacées de  :

.

Dans le cadre du traitement du signal numérique est la période d’échantillonnage.

Décomposition en séries de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Représentation fréquentielle.

Puisque cette distribution est périodique, on peut la développer en série de Fourier :

.

On peut en déduire que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac :

.

Application aux signaux échantillonnés[modifier | modifier le wikicode]

est le signal échantillonné à la période du signal  : .

Fonction porte[modifier | modifier le wikicode]

Représentation temporelle
Représentation fréquentielle

Fonction porte convoluée par une peigne de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

Représentation temporelle
Représentation fréquentielle

Dans de nombreux cas pratiques, l'échantillonnage ne peut pas être considéré instantané. La fonction d'échantillonnage n'est alors plus un peigne de Dirac mais une somme de portes de largeur espacée d'une durée  : elle correspond à la convolution d'une porte par une peigne de Dirac de période .

Fonction exponentielle complexe [modifier | modifier le wikicode]

Fonction sinus et cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Représentation temporelle
Représentation fréquentielle

Les fonctions sinus et cosinus sont indispensables car elles décrivent un signal le plus simple qui soit : ce dernier ne comporterait alors qu'une seule fréquence (positive).

Fonction sinus cardinal[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Sinus cardinal ».
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle