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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Série et transformée de Fourier en physique : Fonctions utiles Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Certaines fonctions sont fréquemment utilisées en physique du fait de leur simplicité ou de leur intérêt pratique. Quelques unes d'entres elles sont rassemblées dans la fiche mémoire . Ce chapitre les présente un peu plus en détails.
La distribution de Dirac à l'instant
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
δ
t
0
(
t
)
=
δ
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle \delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})}
Sa transformée de Fourier a la même amplitude mais présente un retard de phase :
F
(
δ
t
0
(
t
)
)
=
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
0
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\delta _{t_{0}}(t)\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {-j} .2\pi .f.t_{0}}}
Manipulations utiles
s
(
t
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
=
s
(
t
0
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle s(t)\cdot \delta (t-t_{0})=s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})}
∫
−
∞
+
∞
s
(
t
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
s
(
t
0
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
⋅
d
t
=
s
(
t
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=s(t_{0})}
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t=\delta (f-f_{0})}
Représentation temporelle Wikipedia-logo-v2.svg La distribution peigne de Dirac est une somme de distributions de Dirac espacées de
T
e
{\displaystyle T_{e}}
I
I
I
T
e
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
k
.
T
e
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
.
T
e
)
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k.T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k.T_{e})}
Dans le cadre du traitement du signal numérique
T
e
{\displaystyle T_{e}}
Représentation fréquentielle. Puisque cette distribution est périodique, on peut la développer en série de Fourier :
I
I
I
T
e
(
t
)
=
1
T
e
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
j
2
π
n
f
e
t
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)={\frac {1}{T_{e}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\operatorname {e} ^{\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}}
On peut en déduire que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac :
F
(
I
I
I
T
e
(
t
)
)
=
f
e
I
I
I
f
e
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathrm {III} _{T_{e}}(t)\right)=f_{e}\,\mathrm {III} _{f_{e}}(f)}
s
e
(
t
)
{\displaystyle s_{e}(t)}
T
e
{\displaystyle T_{e}}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
e
(
t
)
=
s
(
t
)
⋅
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle s_{e}(t)=s(t)\cdot \mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
Représentation temporelle Représentation fréquentielle
Π
T
0
/
2
(
t
)
=
{
1
s
i
t
∈
[
−
T
0
2
;
T
0
2
]
0
s
i
n
o
n
{\displaystyle \Pi _{{T_{0}}/2}(t)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ t\in \left[-{\frac {T_{0}}{2}};{\frac {T_{0}}{2}}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}
Π
^
T
0
/
2
(
f
)
=
T
0
⋅
s
i
n
c
(
π
.
f
.
T
0
)
{\displaystyle {\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)={T_{0}}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.{T_{0}})}
Démonstration
Π
^
T
0
/
2
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
Π
T
0
/
2
(
t
)
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
T
0
/
2
+
T
0
/
2
1
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
[
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
−
j
.2
π
.
f
]
−
T
0
/
2
+
T
0
/
2
=
1
π
.
f
⋅
e
−
j
.
π
.
f
.
T
0
−
e
+
j
.
π
.
f
.
T
0
−
2.
j
=
sin
(
π
.
f
.
T
0
)
π
.
f
=
T
0
⋅
sin
(
π
.
f
.
T
0
)
π
.
f
.
T
0
=
T
0
⋅
s
i
n
c
(
π
.
f
.
T
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\Pi _{{T_{0}}/2}(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}1\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .f}}\right]_{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .f}}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f}}\\\ &=T_{0}\cdot {\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f.T_{0}}}\\\ &=T_{0}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.T_{0})\\\end{aligned}}}
Représentation temporelle Représentation fréquentielle Dans de nombreux cas pratiques, l'échantillonnage ne peut pas être considéré instantané. La fonction d'échantillonnage n'est alors plus un peigne de Dirac mais une somme de portes de largeur
ε
{\displaystyle \varepsilon }
T
e
{\displaystyle T_{e}}
Π
ε
(
t
)
{\displaystyle \Pi _{\varepsilon }(t)}
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
T
e
{\displaystyle T_{e}}
h
(
t
)
=
Π
ε
(
t
)
∗
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle h(t)=\Pi _{\varepsilon }(t)*\mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
h
^
(
f
)
=
Π
^
ε
(
f
)
⋅
I
I
I
^
T
e
(
f
)
=
ε
⋅
s
i
n
c
(
π
⋅
ε
⋅
f
)
⋅
1
T
e
⋅
I
I
I
f
e
(
f
)
{\displaystyle {\hat {h}}(f)={\hat {\Pi }}_{\varepsilon }(f)\cdot {\hat {\mathrm {III} }}_{T_{e}}(f)=\varepsilon \cdot \mathrm {sinc} (\pi \cdot \varepsilon \cdot f)\cdot {\frac {1}{T_{e}}}\cdot \mathrm {III} _{f_{e}}(f)}
Fonction exponentielle complexe
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}}
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s
(
t
)
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle s(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}}
s
^
(
f
)
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)=\delta (f-f_{0})}
Démonstration
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\delta (f-f_{0})\\\end{aligned}}}
Représentation temporelle Représentation fréquentielle Les fonctions sinus et cosinus sont indispensables car elles décrivent un signal le plus simple qui soit : ce dernier ne comporterait alors qu'une seule fréquence (positive).
s
(
t
)
=
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
{\displaystyle s(t)=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}
s
^
(
f
)
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)}
Démonstration
s
(
t
)
=
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
=
e
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
−
e
−
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
2.
j
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
{\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\\\end{aligned}}}
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
f
.
0
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
.
0
)
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
⋅
d
t
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
0
)
.
t
⋅
d
t
)
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}}
s
(
t
)
=
cos
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
{\displaystyle s(t)=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}
s
^
(
f
)
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)}
Démonstration
s
(
t
)
=
cos
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
=
e
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
+
e
−
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
2
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
{\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2}}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\\\end{aligned}}}
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
f
.
0
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
.
0
)
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
⋅
d
t
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
0
)
.
t
⋅
d
t
)
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}}
Wikipedia-logo-v2.svg Représentation temporelle Représentation fréquentielle
s
(
t
)
=
2
⋅
f
0
⋅
s
i
n
c
(
2
π
.
f
0
.
t
)
=
2
⋅
f
0
⋅
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
)
2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle s(t)=2\cdot f_{0}\cdot {\rm {sinc}}(2\pi .f_{0}.t)=2\cdot f_{0}\cdot {\frac {\sin(2\pi .f_{0}.t)}{2\pi .f_{0}.t}}}
s
^
(
f
)
=
Π
f
0
(
f
)
=
{
1
s
i
f
∈
[
−
f
0
;
f
0
]
0
s
i
n
o
n
{\displaystyle {\hat {s}}(f)=\Pi _{f_{0}}(f)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ f\in \left[-{f_{0}};f_{0}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}
Plus de détails dans l’article wikipédia : Distribution de Dirac.
![{\displaystyle \Pi _{{T_{0}}/2}(t)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ t\in \left[-{\frac {T_{0}}{2}};{\frac {T_{0}}{2}}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fa5d0348e19cf2e5915eb59e4aa24f5257f00d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\Pi _{{T_{0}}/2}(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}1\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .f}}\right]_{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .f}}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f}}\\\ &=T_{0}\cdot {\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f.T_{0}}}\\\ &=T_{0}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.T_{0})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f15101b96657d14fc61fa20ddc9ce1b37e13297)
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![{\displaystyle {\hat {s}}(f)=\Pi _{f_{0}}(f)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ f\in \left[-{f_{0}};f_{0}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ad1b8ebc2df863c817137efeeb5f8d933e3c92)
![{\displaystyle s(t)=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .t}}\right]_{-{f_{0}}}^{+{f_{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac174c518d225a463653e6d5db2fed67398d1259)
