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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Série et transformée de Fourier en physique : Fonctions utiles Série et transformée de Fourier en physique/Fonctions utiles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Certaines fonctions sont fréquemment utilisées en physique du fait de leur simplicité ou de leur intérêt pratique. Quelques unes d'entres elles sont rassemblées dans la fiche mémoire . Ce chapitre les présente un peu plus en détails.
La distribution de Dirac à l'instant
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
correspond au pic de Dirac décalé dans le temps :
δ
t
0
(
t
)
=
δ
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle \delta _{t_{0}}(t)=\delta (t-t_{0})}
.
Sa transformée de Fourier a la même amplitude mais présente un retard de phase :
F
(
δ
t
0
(
t
)
)
=
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
0
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\delta _{t_{0}}(t)\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {-j} .2\pi .f.t_{0}}}
.
Manipulations utiles
s
(
t
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
=
s
(
t
0
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
{\displaystyle s(t)\cdot \delta (t-t_{0})=s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})}
∫
−
∞
+
∞
s
(
t
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
s
(
t
0
)
⋅
δ
(
t
−
t
0
)
⋅
d
t
=
s
(
t
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t_{0})\cdot \delta (t-t_{0})\cdot \mathrm {d} t=s(t_{0})}
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t=\delta (f-f_{0})}
Représentation temporelle
Wikipedia-logo-v2.svg
La distribution peigne de Dirac est une somme de distributions de Dirac espacées de
T
e
{\displaystyle T_{e}}
:
I
I
I
T
e
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
k
.
T
e
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
δ
(
t
−
k
.
T
e
)
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k.T_{e}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k.T_{e})}
.
Dans le cadre du traitement du signal numérique
T
e
{\displaystyle T_{e}}
est la période d’échantillonnage.
Représentation fréquentielle.
Puisque cette distribution est périodique, on peut la développer en série de Fourier :
I
I
I
T
e
(
t
)
=
1
T
e
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
j
2
π
n
f
e
t
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)={\frac {1}{T_{e}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\operatorname {e} ^{\mathrm {j} 2\pi nf_{e}t}}
.
On peut en déduire que la transformée de Fourier d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac :
F
(
I
I
I
T
e
(
t
)
)
=
f
e
I
I
I
f
e
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathrm {III} _{T_{e}}(t)\right)=f_{e}\,\mathrm {III} _{f_{e}}(f)}
.
s
e
(
t
)
{\displaystyle s_{e}(t)}
est le signal échantillonné à la période
T
e
{\displaystyle T_{e}}
du signal
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
:
s
e
(
t
)
=
s
(
t
)
⋅
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle s_{e}(t)=s(t)\cdot \mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
.
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle
Π
T
0
/
2
(
t
)
=
{
1
s
i
t
∈
[
−
T
0
2
;
T
0
2
]
0
s
i
n
o
n
{\displaystyle \Pi _{{T_{0}}/2}(t)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ t\in \left[-{\frac {T_{0}}{2}};{\frac {T_{0}}{2}}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}
Π
^
T
0
/
2
(
f
)
=
T
0
⋅
s
i
n
c
(
π
.
f
.
T
0
)
{\displaystyle {\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)={T_{0}}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.{T_{0}})}
Démonstration
Π
^
T
0
/
2
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
Π
T
0
/
2
(
t
)
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
T
0
/
2
+
T
0
/
2
1
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
[
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
−
j
.2
π
.
f
]
−
T
0
/
2
+
T
0
/
2
=
1
π
.
f
⋅
e
−
j
.
π
.
f
.
T
0
−
e
+
j
.
π
.
f
.
T
0
−
2.
j
=
sin
(
π
.
f
.
T
0
)
π
.
f
=
T
0
⋅
sin
(
π
.
f
.
T
0
)
π
.
f
.
T
0
=
T
0
⋅
s
i
n
c
(
π
.
f
.
T
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\Pi }}_{{T_{0}}/2}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\Pi _{{T_{0}}/2}(t)\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}1\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}}{-\mathrm {j} .2\pi .f}}\right]_{-{T_{0}/2}}^{+{T_{0}/2}}\\\ &={\frac {1}{\pi .f}}\cdot {\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}-\mathrm {e} ^{+\mathrm {j} .\pi .f.T_{0}}}{-2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f}}\\\ &=T_{0}\cdot {\frac {\sin(\pi .f.T_{0})}{\pi .f.T_{0}}}\\\ &=T_{0}\cdot \mathrm {sinc} (\pi .f.T_{0})\\\end{aligned}}}
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle
Dans de nombreux cas pratiques, l'échantillonnage ne peut pas être considéré instantané. La fonction d'échantillonnage n'est alors plus un peigne de Dirac mais une somme de portes de largeur
ε
{\displaystyle \varepsilon }
espacée d'une durée
T
e
{\displaystyle T_{e}}
: elle correspond à la convolution d'une porte
Π
ε
(
t
)
{\displaystyle \Pi _{\varepsilon }(t)}
par un peigne de Dirac
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle \mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
de période
T
e
{\displaystyle T_{e}}
.
h
(
t
)
=
Π
ε
(
t
)
∗
I
I
I
T
e
(
t
)
{\displaystyle h(t)=\Pi _{\varepsilon }(t)*\mathrm {III} _{T_{e}}(t)}
h
^
(
f
)
=
Π
^
ε
(
f
)
⋅
I
I
I
^
T
e
(
f
)
=
ε
⋅
s
i
n
c
(
π
⋅
ε
⋅
f
)
⋅
1
T
e
⋅
I
I
I
f
e
(
f
)
{\displaystyle {\hat {h}}(f)={\hat {\Pi }}_{\varepsilon }(f)\cdot {\hat {\mathrm {III} }}_{T_{e}}(f)=\varepsilon \cdot \mathrm {sinc} (\pi \cdot \varepsilon \cdot f)\cdot {\frac {1}{T_{e}}}\cdot \mathrm {III} _{f_{e}}(f)}
Fonction exponentielle complexe
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}}
[ modifier | modifier le wikicode ]
s
(
t
)
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle s(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}}
s
^
(
f
)
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)=\delta (f-f_{0})}
Démonstration
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
=
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\delta (f-f_{0})\\\end{aligned}}}
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle
Les fonctions sinus et cosinus sont indispensables car elles décrivent un signal le plus simple qui soit : ce dernier ne comporterait alors qu'une seule fréquence (positive).
s
(
t
)
=
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
{\displaystyle s(t)=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}
s
^
(
f
)
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)}
Démonstration
s
(
t
)
=
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
=
e
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
−
e
−
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
2.
j
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
{\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\sin(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2.\mathrm {j} }}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\\\end{aligned}}}
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
f
.
0
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
−
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
.
0
)
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2.
j
⋅
d
t
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
0
)
.
t
⋅
d
t
)
=
1
2.
j
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
−
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2.\mathrm {j} }}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2.\mathrm {j} }}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}}
s
(
t
)
=
cos
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
{\displaystyle s(t)=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}
s
^
(
f
)
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\hat {s}}(f)={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)}
Démonstration
s
(
t
)
=
cos
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
=
e
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
+
e
−
j
.
(
2
π
.
f
0
.
t
+
φ
0
)
2
=
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
{\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\cos(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .(2\pi .f_{0}.t+\varphi _{0})}}{2}}\\\ &={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\\\end{aligned}}}
s
^
(
f
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
.2
π
.
f
0
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
f
.
0
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
⋅
e
−
j
.2
π
.
f
.
t
⋅
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
e
j
.
φ
0
+
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
.
0
)
t
⋅
e
−
j
.
φ
0
2
⋅
d
t
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
−
f
0
)
.
t
⋅
d
t
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
.2
π
.
(
f
+
f
0
)
.
t
⋅
d
t
)
=
1
2
⋅
(
e
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
−
f
0
)
+
e
−
j
.
φ
0
⋅
δ
(
f
+
f
0
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(f)&=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .2\pi .f_{0}.t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f._{0}t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .f.t}\cdot \mathrm {d} t\\\ &=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f._{0})t}\cdot \mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}}{2}}\cdot \mathrm {d} t\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f-f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .2\pi .(f+f_{0}).t}\cdot \mathrm {d} t\right)\\\ &={\frac {1}{2}}\cdot \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f-f_{0})+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} .\varphi _{0}}\cdot \delta (f+f_{0})\right)\\\end{aligned}}}
Wikipedia-logo-v2.svg
Représentation temporelle
Représentation fréquentielle
s
(
t
)
=
2
⋅
f
0
⋅
s
i
n
c
(
2
π
.
f
0
.
t
)
=
2
⋅
f
0
⋅
sin
(
2
π
.
f
0
.
t
)
2
π
.
f
0
.
t
{\displaystyle s(t)=2\cdot f_{0}\cdot {\rm {sinc}}(2\pi .f_{0}.t)=2\cdot f_{0}\cdot {\frac {\sin(2\pi .f_{0}.t)}{2\pi .f_{0}.t}}}
s
^
(
f
)
=
Π
f
0
(
f
)
=
{
1
s
i
f
∈
[
−
f
0
;
f
0
]
0
s
i
n
o
n
{\displaystyle {\hat {s}}(f)=\Pi _{f_{0}}(f)={\begin{cases}1\ {\rm {si}}\ f\in \left[-{f_{0}};f_{0}\right]\\0\ {\rm {sinon}}\end{cases}}}