Théorie physique des distributions/Équations de convolution

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Nous avons vu que l'espace des distributions est muni des lois internes d'addition et de produit de convolution. Nous sommes donc naturellement amené, dans ce chapitre, à nous proposer de résoudre des équations utilisant ces lois internes et notamment le produit de convolution. Nous étudierons en particulier l'équation simple A⋆X = Y d'inconnue X connue sous le nom d'équation de convolution. La résolution de cette équation intervient dans de nombreux problèmes de physique dont nous donnerons quelques exemples.

Algèbre de convolution

Nous avons dit dans un chapitre précédent que le produit de convolution n'était pas associatif dans ${\textstyle {\mathcal {D}}'}$. Nous pouvons toutefois, dans ce chapitre, rassurer le lecteur en lui apprenant que si les distributions se trouvent dans certains sous-espaces de ${\textstyle {\mathcal {D}}'}$, alors le produit de convolution devient associatif.

On considère généralement trois cas de figure qui sont les suivants :

• Toutes les distributions, sauf une au plus, sont dans ${\textstyle {\mathcal {E}}'}$
• Toutes les distributions sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{-}'}$
• Toutes les distributions sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$

Compte-tenu du fait que nous visons les applications physiques et que, par conséquent, nous pouvons considérer qu'un phénomène physique commence à un instant donné que l’on peut considérer comme étant l'origine des temps, on peut considérer que la plupart des distributions qui nous intéresseront serons dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$. L'espace ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ s’appelle « Espace des distributions causales ».

Nous pouvons alors vérifiée que ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ est une algèbre. Comme l'opération multiplicative est le produit de convolution, nous dirons que ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ est une algèbre de convolution.

Nous considérerons, dans la suite de ce chapitre, que toutes les distributions envisagées sont dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ ( ou dans ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$ qui est l'un de ses sous-espaces).

Définition de l'équation de convolution

Nous commencerons par donner la définition suivante :

Définition

On appelle équation de convolution l'équation :

$A\star X=Y$

• A est la distribution caractéristique du système physique.
• Y est généralement la distribution représentant la sollicitation du système physique.
• X est la distribution représentant le réponse du système physique.

Résoudre cette équation revient à déterminer la distribution X connaissant A et Y

Pour clarifier le problème, donnons un exemple simple.

Soit le circuit :

À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur et l’on souhaite connaître l'évolution du courant I dans le circuit.

Si l’on considère l'équation :

$A\star X=Y$

compte tenu de la définition, nous pouvons déjà dire que Y sera la distribution f.H(x) et X sera une distribution régulière représentant l'évolution du courant I dans le circuit. Il nous reste à déterminer la distribution A.

Pour cela, nous allons établir l'équation différentielle caractéristique du circuit.

La tension u au borne de la bobine est :

$u=L{\frac {dI}{dt}}$

Nous avons donc :

$f.H(t)=RI+L{\frac {dI}{dt}}$

Qui est l'équation différentielle régissant le circuit.

Traduisons cette équation sous forme de distribution. En tenant compte qu'une dérivée d'une distribution se traduit par la multiplication par δ', on obtient :

$f.H=R\delta \star I+L\delta '\star I$

qui se factorise ainsi :

$(R\star \delta +L\delta ')\star I=f.H$

En identifiant avec l'équation :

$A\star X=Y$

On a bien, comme supposé :

$Y=f.H$

$X=I$

Mais on a obtenu en plus :

$A=R\star \delta +L\delta '$

A étant la distribution caractéristique du circuit.

Résolution de l'équation de convolution

Si nous nous référons à nos connaissance antérieure, nous savons qu'une équation du premier degré :

$ax=b$

a pour solution :

$x={\frac {b}{a}}=b.a^{-1}$

avec :

$a^{-1}\times a=1$

Par analogie, on peut alors s'attendre à ce que la solution de l'équation :

$A\star X=Y$

soit :

$X=Y\star A^{-1}$

avec :

$A^{-1}\star A=\delta$

(car, de même que 1 est l'élément neutre de la multiplication des réel, δ est l'élément neutre de la convolution des distributions)

En fait, il semblerait que la première chose à faire soit de déterminer la distribution A^-1 vérifiant :

$A^{-1}\star A=\delta$

A^-1 est appelé « inverse de convolution », mais on la qualifie aussi de « solution élémentaire » ou, dans le cadre des circuits électriques de « réponse impulsionnelle ».

Nous savons que nous avons déclenché le chronomètre au moment où l’on a fermé interrupteur. Par conséquent le bon sens nous invite à penser qu'avant l'instant t = 0, la fonction représentant l'intensité dans le circuit était nulle et, par conséquent, la distribution inconnue X appartient à ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$. Nous voyons aussi que Y et A sont des distributions de ${\textstyle {\mathcal {S}}_{+}'}$ puisque leur support est inclu dans [0;+∞[

Ces remarques nous autorisent à utiliser la transformée de Laplace des distributions X,A,Y. Par conséquent, en prenant la transformée de Laplace des deux membres de l'équation :

$A^{-1}\star A=\delta$

nous obtenons :

${\mathcal {L}}.(A^{-1}\star A)={\mathcal {L}}.\delta$

Qui s'écrit :

${\mathcal {L}}.A^{-1}\times {\mathcal {L}}.A=1$

Et là, on peut écrire :

${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}$

Nous pouvons donc déterminer A^-1 en utilisant une table des transformées de Laplace suffisamment complète.

Une fois que A^-1 est déterminée, nous pouvons facilement résoudre l'équation :

$A\star X=Y$

en convolant les deux membres par A^-1, on obtient :

$A^{-1}\star A\star X=Y\star A^{-1}$

L'associativité du produit de convolution dans ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$ nous donne finalement :

$X=Y\star A^{-1}$

À titre d'exemple, nous allons finir de résoudre notre problème du paragraphe précédant :

Nous étions arrivée à une équation de convolution :

$A\star X=Y$

Avec :

$Y=f.H$

$X=I$

$A=R\star \delta +L\delta '$

Déterminons A^-1, on a :

${\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.A}}={\frac {1}{{\mathcal {L}}.(R\star \delta +L\delta ')}}={\frac {1}{R+L.p}}$

Nous pouvons ici déterminer A^-1 à l'aide d'une table, mais ce n’est pas nécessaire car c’est X que nous voulons et comme X vérifie :

$X=Y\star A^{-1}$

On en déduit :

${\mathcal {L}}.X={\mathcal {L}}.Y\times {\mathcal {L}}.A^{-1}={\frac {f}{p}}\times {\frac {1}{R+L.p}}={\frac {f}{p(R+L.p)}}={\frac {f}{Rp}}-{\frac {f.L}{R(R+Lp)}}={\frac {f}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p+{\frac {R}{L}}}}\right)$

À l'aide d'une table des transformées de Laplace usuelles, nous voyons que l’on a :

$X={\frac {f}{R}}\left(H-H.e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)$

Soit, en revenant aux fonctions :

$I(t)=H(t){\frac {f}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R.t}{L}}}\right)$

La méthode que l’on vient d’utiliser pour résoudre une équation de convolution s’appelle « méthode de Green ». Son inconvénient principal est qu'elle ne permet pas d'obtenir toutes les solutions de l'équation de convolution, mais seulement celles qui appartiennent à ${\textstyle {\mathcal {D}}_{+}'}$.