Leçons de niveau 15

Théorie physique des distributions/Exercices/Équations de convolution

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Équations de convolution
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Exercices no8
Leçon : Théorie physique des distributions
Chapitre du cours : Équations de convolution

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Transformée de Laplace
Exo suiv. :Sommaire
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Théorie physique des distributions/Exercices/Équations de convolution
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Exercice 8-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit le circuit :

Tiefpass.svg

À l'instant t = 0, on applique une tension U à l'entrée du circuit. Décrire l'évolution de la tension Ua en fonction du temps.

On rappelle que l'intensité et la tension au borne du condensateur sont liées par la relation :


Exercice 8-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit le circuit :

Hochpass.svg

On applique à l'entrée de ce circuit un signal Ue = f(t) avec la fonction f définie par :

Décrire l'évolution de la tension Ua en fonction du temps.

On rappelle que l'intensité et la tension au borne du condensateur sont liées par la relation :


Exercice 8-3[modifier | modifier le wikicode]

Trouver une solution de l'équation différentielle :

qui soit nulle avant l'instant t = 0


Exercice 8-4[modifier | modifier le wikicode]

Trouver une fonction f vérifiant :


Exercice 8-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit f, g et h, trois fonctions définies par :

Soit T, la distribution définie par :


a) Sans utiliser la transformée de Laplace, montrez que l'inverse de convolution de f est la fonction T :

b) De façon similaire à la question précédente, montrer que l'inverse de convolution de g est la fonction T ⋆ T :

c) De façon similaire à la question précédente, montrer que l'inverse de convolution de h est la fonction T ⋆ T ⋆ T :



Exercice 8-6[modifier | modifier le wikicode]

Trouver une fonction u à support positif vérifiant :

(On pourra utiliser l'exercice précédent)