Théorie du corps de classe/Loi de réciprocité quadratique

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Ce chapitre est un résumé de : Introduction à la théorie des nombres/Résidus quadratiques.

Les prémisses de la théorie du corps de classe résident dans cette question simple, posée à l'origine par Euler et Legendre. Si l’on se donne $p,q$ deux nombres premiers, le fait que $p$ soit un carré (on dit plus volontiers résidu quadratique) modulo $q$, implique-t-il que $q$ soit un carré modulo $p$ ? La réponse est évidemment négative, comme le montre l'exemple $p=3,q=7$. On a $7\equiv 1^{2}{\bmod {3}}$, mais 3 n’est pas un résidu quadratique modulo 7.

Gauss apportera finalement la réponse à la question, par la loi de réciprocité quadratique. Avant de l'énoncer, introduisons un formalisme commode.

Dans toute la suite $p,q$ désigneront des nombres premiers impairs et $\mathbb {F} _{p}$ désigne le corps à $p$ éléments.

Symbole de Legendre

Pour tout $a\in \mathbb {F} _{p}^{*}$ on définit le symbole de Legendre $\left({\frac {a}{p}}\right)$ par :

• $\left({\frac {a}{p}}\right)=1$ si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$ : $\exists x,x^{2}\equiv a({\text{mod }}p)$
• $\left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ sinon

On peut étendre la symbole de Legendre sur tout $\mathbb {F} _{p}$ en posant $\left({\frac {0}{p}}\right)=0$. On définit alors un caractère de Dirichlet sur $\mathbb {F} _{p}$. Rappelons à toutes fins utiles le résultat (crucial) suivant.

Début d’un théorème

Théorème de l'élément primitif pour un corps premier fini

Le groupe $\left(\mathbb {F} _{p}^{*},\times \right)$ est cyclique.

Fin du théorème

On en déduit aisément le théorème suivant :

Début d’un théorème

Critère d'Euler

$\forall a\in \mathbb {F} _{p}\quad \left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}$.

Fin du théorème

On peut maintenant énoncer de manière simple (c'est-à-dire sans disjonction de cas) la loi de réciprocité quadratique sous la forme suivante :

Début d’un théorème

Loi de réciprocité quadratique

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$.

Fin du théorème

En utilisant le formalisme de la théorie algébrique des nombres, on peut donner une preuve très simple et très éclairante de la loi de réciprocité quadratique. C'est cette voie qu’il faut suivre pour aboutir à la théorie du corps de classe et à des lois de réciprocité généralisées.