Théorie cinétique des gaz/Outils mathématiques

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Introduction

La théorie cinétique des gaz n'utilise pas d’outils théoriques très poussés, mais nous précisons tout de même les principaux. En particulier, les notions d'intégrale et de limite, bien que non essentielles à la compréhension, sont employées.

Outils mathématiques

Puisque la théorie cinétique étudie des systèmes dans lesquels de nombreux constituants sont impliqués, il est naturel de définir des quantités moyennes.

Définition

Soit A une quantité physique. On appelle valeur moyenne de A, et on note $\langle A\rangle$, la quantité $\langle A\rangle =\lim _{T\to \infty }\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}A(T')\,\mathrm {d} T'$.

Si la quantité A est périodique de période $\tau$, alors : $\langle A\rangle ={\frac {1}{\tau }}\int _{\tau }A(T')\,\mathrm {d} T'$.

En termes moins scientifiques, cette définition généralise la simple « valeur moyenne » obtenue en prenant n valeurs de A, en les additionnant puis en divisant la somme par n.

On suppose la notion de dérivée connue, ainsi que son lien avec l'intégrale. On suppose connus des résultats de base sur les vecteurs. Nous précisons quelques termes :

Définitions

On appelle isotrope une quantité qui reste identique indépendamment de la direction dans laquelle on l'observe.

On appelle homogène une quantité dont la valeur est identique en tout point de l'espace.

Enfin, une notion utile :

Définition

Soit A une quantité physique. On appelle moyenne quadratique de A la quantité $\langle A^{2}\rangle$.

On peut aisément s'assurer que $\langle A^{2}\rangle \neq \langle A\rangle ^{2}$ en considérant le cas de la fonction cosinus par exemple (sa moyenne au carré vaut zéro, sa moyenne quadratique vaut ½).