Leçons de niveau 9

Techniques de calcul mental/Calcul approximatif d'une racine carrée

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Calcul approximatif d'une racine carrée
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Chapitre no 9
Leçon : Techniques de calcul mental
Chap. préc. :Calcul approché
Chap. suiv. :Calcul exact d'une racine carrée
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Cette technique permet d'obtenir environ trois bonnes décimales par opération. On doit savoir que (ab)2 = a2 – 2ab + b2 Il suffit de choisir un b tellement petit que le terme b2 est négligeable. Par exemple, si on a la racine de 15 à calculer, on sait que la racine de 16 est 4. On doit prendre un b qui fait que (4 – b)2 = 15 ou presque. Puisque (4 – b)2 = 16 – 2 × 4 × b environ, on prend b = (16 – 15) ÷ (2 × 4), c'est-à-dire 1 / 8 ou 0,125. La racine carrée de 15 vaut donc environ 4 – 0,125 ou 3,875. Si on veut plus de précision, on recommence. Puisque notre 4 initial était à notre choix, on peut recommencer avec 3,88 à sa place, si on trouve que 3,875 est trop précis. Nous avons donc (3,88 – b)2 = 15. b = (3,882 - 15) ÷ (2 × 3,88) = (15,054 – 15) ÷ (7,76) = environ 0,054 ÷ 8 donc environ 0,00675. La racine de 15 est maintenant évaluée à 3,88 – 0,00675 ou 3,87325. La valeur donnée par une calculatrice est 3,87298.


Cette méthode peut être utilisée d'une façon différente (par produits). Notons que les opérations sont purement équivalentes.

  • On prend ici le même nombre que l'exemple ci-dessus. On l'exprime sous forme de produit de deux nombres (de préférence assez proches pour éviter les étapes inutiles) : par exemple 3 × 5 = 15. La racine se trouve donc entre 3 et 5. On note donc une première estimation : 4 (la moyenne des deux).
  • On remarque alors que 4 × 15 / 4 = 15. La racine se trouve entre ces deux nombres. On réitère l'opération en prenant leur moyenne : (16 / 4 + 15 / 4) / 2 = 31 / 8. Deuxième approximation.
  • Et ainsi de suite : 31/8 * (15 × 8) / 31 = 15. La racine se trouve entre 31 / 8 et 120 / 31.

La moyenne de ces deux nombres vaut (31 / 8 + 120 / 31) / 2 = (961 / 248 + 960 / 248) / 2 = 1921 / 496. Troisième et dernière approximation (continuer mentalement serait difficile).

  • La valeur de cette fraction donnée par une calculatrice est 3,8729839. Le résultat indiqué pour racine de 15 est 3,8729833. Soit 6 chiffres significatifs exacts (le 7e ne correspond pas réellement car l'arrondi est différent).

De cette façon il est possible de trouver une fraction à valeur proche de la racine.