Leçons de niveau 9

Techniques de calcul mental/Calcul exact d'une racine carrée

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Calcul exact d'une racine carrée
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Chapitre no 10
Leçon : Techniques de calcul mental
Chap. préc. :Calcul approximatif d'une racine carrée
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Cette technique permet d'obtenir autant de décimales que nécessaire, en combinant additions et soustractions. Le procédé est itératif et présente l'avantage de fournir un chiffre exact de la racine à chaque itération.

Explication (et exemple avec le calcul de la racine de 5337) :

  • séparer le nombre dont on extrait la racine, en groupes de 2 chiffres en partant de la virgule (5337 donne 53 | 37 , 00 …) ;
  • prendre la tranche la plus à gauche et lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, tant que le résultat obtenu est positif (ici : 53 -1-3-5-7-9-11-13 = 4) ;
  • le nombre de soustractions effectuées fournit le premier chiffre de la racine (ici 7) ;
  • accoler au résultat partiel des précédentes soustractions, le groupement de chiffres suivant (ici 4 et 37 => 437) ;
  • lui soustraire successivement tous les entiers impairs consécutifs, en partant du dernier nombre soustrait, incrémenté et accolé de 1, tant que le résultat obtenu est positif (437 - ((13 + 1)1 => 141) - 143 - 145 = 8) ;
  • le nombre de soustractions effectuées fournit le second chiffre de la racine (3) ;
  • réitérer le processus afin d'augmenter la précision du résultat obtenu… (800 - ((145+1)1 => 1461) négatif).
  • Attention, au cas où il n’est pas possible d'effectuer la moindre soustraction sans obtenir un résultat négatif, pour pouvoir continuer le procédé, il faut accoler le groupe de chiffres suivant, mais, pour obtenir les nombres à soustraire, il faut remplacer le dernier 1 par 0 et accoler ensuite un autre 1. (80 000 - ((1461-1)1 => 14 601) - 14 603 - 14 605 - 14 607 - 14 609 = 6975).

Ainsi en première approximation, il est possible de trouver que la racine de 5337 est 73,05.

Méthode de calcul des carrés[modifier | modifier le wikicode]

Cette méthode se base sur une démonstration mathématique alliant suites et sommes. Elle n'est valable, bien entendu, que pour des carrés entiers, positifs, ou négatifs. En effet, (-n)² = n². D'où cette méthode permet aussi de calculer des carrés négatifs. Soit un entier n² à calculer.

1) Soit n² à calculer. Dans un premier temps, choisissez un nombre entier p. Élevez p au carré et calculez le résultat qu'on nommera A.

2) Calculez à présent (p+1)². On nommera ce résultat B. Il est important que ce soit le carré consécutif du nombre p que vous avez choisi en 1).

Vous avez alors :

p² = A

(p+1)² = B


3) Considérez maintenant l’expression B-A. Soit B-A = D (D pour différence de B-A)

Vous avez alors :

p² = A

(p+1)² = B

B-A = D


4) Considérons maintenant e tel que e = n-(p+1). Il est vital que ce soit (p+1) et pas (p+1)². e représente alors la différence entre le carré de n à calculer (ou n²) avec le carré consécutif du nombre choisi p.


Ainsi vous avez :

p² = A

(p+1)² = B

B-A = D

e = n-(p+1)

Vous n'avez plus qu’à utiliser la formule suivante :

n² = B + e(e+1) + De

Exemple

Soit à calculer 25². D'où n = 25 puisque l’on veut le carré de 25.

on choisit un nombre p.

je choisis p =4

je calcule A = p² = 16

je calcule le carré consécutif de p qui est égal à B = (p+1)² = (4+1)² = 5² = 25

Je calcule D = B-A = 25-16 = 9

Je calcule e = n-(p+1) = 25-(4+1) = 25-5 = 20


j'ai donc : B = 25

D = 9

e= 20


or n² = 25² = B + e(e+1) + De

25² = 25 + 20x21 + 9x20

25² = 25 + 420 + 180

25² = 625.