Leçons de niveau 9

Techniques de calcul mental/Addition et soustraction

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Addition et soustraction
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Chapitre no 2
Leçon : Techniques de calcul mental
Chap. préc. :Mémorisation et conséquence sur la technique
Chap. suiv. :Calcul d'un produit : ab × cd (théorie)
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Techniques de calcul mental/Addition et soustraction
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L'addition est associative ( a + (b + c) = (a + b) + c ) et commutative ( a + b = b + a) : on peut donc associer et commuter les termes entre eux:

  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 900 + 80 + 4) + (700 + 100 + 70 + 6) + (300 + 20 + 8) + (9000 + 100 + 30 + 2 + 7)
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = (1000 + 9000) + (900 + 100) + (700 + 300) + (80 + 20) + (70 + 30) + (4 + 6) + (2 + 8) + 100 + 7
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 10 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 7
  • 1 984 + 876 + 328 + 9 139 = 12 327

Remodeler les entiers pour la soustraction[modifier | modifier le wikicode]

On transforme progressivement les nombres pour "arrondir" le nombre à soustraire et ainsi n'avoir plus que zéro à soustraire, en profitant du fait que

ab = (a + c)(b + c) = (a - d)(b - d) .

Contrairement à l'algorithme usuel, on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités (ce n’est pas obligatoire mais c’est plus commode pour la mémoire). Exemple :

1462 - 295

Lorsque le chiffre à soustraire, au cours d'une opération, est plus petit que le chiffre dont on doit le soustraire, on fait la soustraction directement :

1462 - 295 = (1462 - 200) - (295 - 200) = 1262 - 95

Lorsque le chiffre à soustraire est trop grand, on fait une addition, ce qui permet de matérialiser immédiatement la retenue sans avoir à la mémoriser en plus :

1262 - 95 = (1262 + 10) - (95 + 10) = 1272 - 105

Mais parfois il y a encore plus simple, car le but est d'arrondir progressivement le nombre à soustraire

1262 - 95 = (1262 + 5) - (95 + 5) = 1267 - 100
1267 - 100 = 1167

On peut ainsi, de manière générale, utiliser un complément à 10, 100, 1000 du soustracteur (car il est aisé de soustraire 10, 40, 100, 1000, par exemple) en ajoutant le même nombre à chacun des termes de la soustraction :

(on ajoute ici 9 pour passer de 91 à 100).

Remodeler les entiers pour l'addition[modifier | modifier le wikicode]

Le principe reste le même, il s'agit d'arrondir et d'annuler progressivement la quantité à ajouter, mais cette fois il faut concevoir cela comme un déplacement de petits morceaux de la quantité à ajouter vers le nombre auquel on l'ajoute, ou parfois, pour éviter les retenues, dans l'autre sens.

a + (b + c) = (a + c) + b

ou

(a + c) + b = a + (b + c)

Là encore on calcule de préférence des puissances élevées vers les unités. Exemple :

1462 + 295 = 1462 + 200 + 95 = 1662 + 95
1662 + 95 = 1667 + 90 = 1757

ou encore: 1662-5+100=1757