Systèmes du second ordre/Système sur-amorti

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On se place ici dans le cas où $\xi >1$

Calculs

La FT étant, ${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}}}$,

on en tire le Polynôme Caractéristique qui en est le dénominateur c'est-à-dire $1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$ .

que l’on peut ramène au produit de deux systèmes du premier ordre : ${\frac {K}{(1-\tau _{1}p)\cdot (1-\tau _{2}p)}}$

avec $\tau _{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$ et $\tau _{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$

Démonstration

On a le Polynôme caractéristique suivant :

$1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$

On résout et on en tire le déterminent calculé par rapport à p :

$\Delta =b^{2}-4ac=({\frac {2\xi }{\omega _{0}}})^{2}-4\cdot 1\cdot ({\frac {1}{\omega _{0}}})^{2}$

Ce discriminent est positif ssi $\xi <1$ voir nul si $\xi =1$

on en tire les racines suivantes :

$p_{i}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2\cdot a}}$

on factorise ainsi le polynôme caractéristique sous la forme :

$(1-p_{1})\cdot (1-p_{2})=(1-\tau _{1}p)\cdot (1-\tau _{2}p)$

CQFD

 

Diagramme de Bode

On a donc une première asymptote horizontale de gain 20log(K) puis une première pente de -20dB par décade à partir de $\omega _{1}={\frac {1}{\tau _{1}}}$ et une seconde de -40dB par décade à partir de $\omega _{2}={\frac {1}{\tau _{2}}}$. NB: on voit apparaitre un certain nombre de points remarquables (cf. démo du chapitre sur le 1^er ordre), ici i= 1 ou 2 ;

• La pulsation de cassure en $\omega _{i}={\frac {1}{\tau _{i}}}$ se trouve 3db en dessous de l'asymptote horizontale.
• La pulsation un octave avant la cassure $\omega _{i}={\frac {1}{2\tau _{i}}}$ qui elle se trouve à 1db sous l'asymptote horizontale.
• La pulsation un octave après la cassure $\omega _{i}={\frac {2}{\tau _{i}}}$ qui se trouve à 7db sous l'asymptote horizontale.

Diagramme de Bode d'un système du 2nd ordre avec $\xi <1$, en haut, le diagramme en gain et en bas le diagramme en phase, on a ici en vert la courbe réelle et en rouge la courbe asymptotique.