Systèmes du second ordre/Système sous-amorti

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Dans ce cas (sans jeu de mot) plus complexe, on a donc $\xi <1$

Calculs

La FT étant toujours, ${\underline {H}}(p)={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}}}$, on en tire le même Polynôme Caractéristique $1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot p+({\frac {p}{\omega _{0}}})^{2}=0$ . de déterminent négatif

$\Delta =b^{2}-4ac=({\frac {2\xi }{\omega _{0}}})^{2}-4\cdot 1\cdot ({\frac {1}{\omega _{0}}})^{2}$

on se place en formalisme complexe et non plus laplacien (ie $p=j\omega$ avec $j^{2}=-1$)

on a ainsi:

${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+{\frac {2\xi }{\omega _{0}}}\cdot j\omega -({\frac {\omega }{\omega _{0}}})^{2}}}$

on pose $U={\frac {j\omega }{\omega _{0}}}$ et on a

${\underline {H}}(j\omega )={\frac {K}{1+2U\xi -U^{2}}}={\frac {K}{(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}$

on en tire donc le module et l'argument :

$|{\underline {H}}(j\omega )|={\frac {K}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$

$\arg({\underline {H}}(j\omega ))=\varphi =-\arctan({\frac {2\xi U}{1-U^{2}}})$

Diagramme de Bode

Asymptotes et limites

Quand $\omega \to 0$ alors $U\to 0$ et $\varphi \to 0$

Quand $\omega \to \infty$ alors $U\to \infty$

$\cos(\varphi )={\frac {\mathfrak {R}}{|{\underline {H}}(j\omega )|}}={\frac {(1-U^{2})}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$

$\sin(\varphi )={\frac {\mathfrak {I}}{|{\underline {H}}(j\omega )|}}={\frac {-2\xi U}{\sqrt {(1-U^{2})^{2}+(2\xi U)^{2}}}}$

On constate donc que quand $U\to \infty$ on a $\cos(\varphi )\to {\frac {-(U^{2}-1)}{\sqrt {U^{2}-1)^{2}}}}\to -1$ et $\sin(\varphi )\to 0$