Leçons de niveau 13

Suites et récurrence/Exercices/Démonstration par récurrence

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Démonstration par récurrence
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Exercices no4
Leçon : Suites et récurrence
Chapitre du cours : Démonstration par récurrence

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sujet de bac S
Exo suiv. :Sommaire
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Suites et récurrence/Exercices/Démonstration par récurrence
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Récurrence simple[modifier | modifier le wikicode]

Montrer par récurrence les propriétés suivantes :

  1.  ;
  2.  ;
  3. est multiple de 3.

Chercher l'erreur[modifier | modifier le wikicode]

Voici un raisonnement (par récurrence) dont la conclusion est que toutes les vaches sont de la même couleur. Comme le nombre de vaches dans le monde est assurément fini, on va en fait montrer la propriété  : « pour tout entier et pour tout groupe de vaches, toutes les vaches de ce groupe sont de la même couleur ». Voici cette « preuve » :

  • Initialisation : pour , toutes les vaches d'un groupe composé d'une seule vache ont certainement la même couleur puisqu'une vache a la même couleur qu'elle-même.
  • Hérédité : hypothèse de récurrence : on suppose que est vraie pour un entier fixé et l'on considère un groupe de vaches. On les range l'une derrière l'autre. Par hypothèse de récurrence, les premières sont toutes de la même couleur et la dernière est aussi de cette couleur (par exemple en tant que membre des dernières), ce qui montre bien que les vaches sont de la même couleur.

Quelle erreur a-t-on commise dans ce raisonnement ?