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Exercice : Sujet de bac S
Suites et récurrence/Exercices/Sujet de bac S », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007
N.B. Dans le programme officiel maths TS 2011, le « théorème des gendarmes » n'est mentionné qu'au sujet des suites, et est impérativement admis.
1. Soit
une fonction réelle définie sur
. Compléter la phrase suivante :
- On dit que
admet une limite finie
en
si ![{\displaystyle ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00f2f395950e3698a46501d1e9aae8e8defa145)
2. Démontrer le "théorème des gendarmes".
Soient
,
et
trois fonctions définies sur
et
un nombre réel.
Si
et
ont pour limite commune
quand
tend vers
,
et si pour tout
assez grand,
,
alors la limite de
quand
tend vers
est égale à
.
Soit
la fonction définie sur
par :
![{\displaystyle f(x)=e^{x}-x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9930049b7d0fd0ee3024bfcfbfecc0e0a04af183)
et soit
sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.
La droite
d'équation
est asymptote à
.
1. Soit
un nombre réel. Écrire, en fonction de
,
une équation de la tangente
à
au point
d'abscisse
.
Solution
f est dérivable sur
et
.
L'équation de la tangente (T) en
est :
donc
finalement (T) a pour équation :
2. Cette tangente
coupe la droite
au point
d'abscisse
. Vérifier que
.
Solution
L'ordonnée du point d'intesection d'abscisse b vérifie l'équation :
si et seulement si :
si et seulement si :
comme pour tout réel a,
est non nul, ceci équivaut à :
si et seulement si :
3. En déduire une construction de la tangente
à
au point
d'abscisse 1,5.
Solution
(T) est la droite passant par
et par
.
1. Déterminer graphiquement le signe de
.
Solution
Pour tout réel x, on constate graphiquement que
.
En fait f ne s'annule qu'en
.
2. En déduire, pour tout entier naturel non nul
, les inégalités suivantes :
![{\displaystyle (1)\ e^{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {1}{n}}\ ;\ (2)\ e^{\frac {-1}{n+1}}\geq 1-{\frac {1}{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c488345f233b7b206d00993a8d8c352720b8106a)
.
Solution
Pour tout entier n strictement positif, en posant
dans l'inégalité
, on obtient :
donc on obtient l'inégalité (1) :
.
Pour tout entier n strictement positif, en posant
dans l'inégalité
, on obtient :
donc il s'ensuit l'inégalité (2) :
3. En utilisant l'inégalité (1), démontrer que, pour tout entier naturel non nul
:
![{\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}\leq e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aa2db95554b7325e032c3816a732670079f905)
Solution
Puisque n est strictement positif, la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle
.
On l'applique aux deux membres de l'inégalité (1) qui est conservée :
.
donc
4. a) Déduire de l'inégalité (2) l'inégalité (3) suivante :
![{\displaystyle e^{\frac {1}{n+1}}\leq {\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97f5719513e429b2a537672540abb1129aa6464)
Solution
On a
Les deux membres sont strictement positifs. En leur appliquant la fonction
, décroissante sur
, l'inégalité change de sens et devient :
- b) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n :
![{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}=1+{\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc8c9dc7b02725f3acf03779b58c109a26729b6)
Solution
Pout tout n strictement positif :
- c) En déduire que pour tout entier naturel non nul n :
Solution
D'après (3) et (4b),
En appliquant la fonction
, croissante sur
, aux deux membres positifs :
donc
.
5. Déterminer à partir des questions précédentes un encadrement de :
puis sa limite en
.
Solution
D'après (4c), pour tout n entier strictement positif :
donc en divisant par
, on obtient :
donc avec (3), on a l'encadrement :
.
Or
et
donc d’après le théorème "des gendarmes" :