Structure algébrique/Anneau (mathématiques)

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Ce chapitre décrit de façon succincte la structure d'anneau, et donne les exemples fondamentaux.

Définition

Un anneau $(A,+,\cdot )$ est un ensemble $A$ muni de deux lois de composition internes $+$ et $\cdot$ vérifiant les propriétés suivantes :

• $(A,+)$ est un groupe abélien.
• la loi $\cdot$ est associative.
• La loi $\cdot$ est distributive à gauche et à droite sur la loi $+$, c'est-à-dire :

$\forall a,b,c\in A\quad a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ et $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

Un anneau $(A,+,\cdot )$ est dit unitaire si la loi $\cdot$ possède un élément neutre.

Un anneau $(A,+,\cdot )$ est dit commutatif (ou abélien) si la loi $\cdot$ est commutative.

Remarque

Insistons sur certaines propriétés qui ne sont pas toujours valides pour un anneau :

1. La loi $\cdot$ n'admet pas nécessairement d'élément neutre.
2. Quand cet élément neutre existe, tous les éléments de l'anneau ne sont pas forcément inversibles. En particulier, l'élément neutre pour la loi $+$ n'est jamais inversible.
3. La loi $\cdot$ n'est pas forcément commutative.

Voyons maintenant quelques exemples classiques permettant d'illustrer la définition et la remarque.

Début de l'exemple

Exemple

L'anneau des entiers relatifs $\mathbb {Z}$ : Considérons l'ensemble $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs muni de l'addition et de la multiplication usuelles. Alors, le triplet $(\mathbb {Z} ,+,\times )$ est un anneau commutatif unitaire où l'élément neutre pour l'addition est $0$ et l'élément neutre pour la multiplication est $1$. L'ensemble des éléments inversibles est $\{-1;1\}$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

L'anneau $2\mathbb {Z}$ : On considère l'ensemble des entiers pairs $2\mathbb {Z}$ que l'on munit également de l'addition et de la multiplication usuelles. C'est alors un anneau inclus dans l'anneau $\mathbb {Z}$ (on parle alors de sous-anneau) qui est commutatif mais pas unitaire, et l'élément neutre pour l'addition est toujours 0.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

L'anneau $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ : On considère l'ensemble $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ des entiers modulo un entier $n$ que l'on munit de l'addition et de la multiplication modulo $n$. C'est un anneau unitaire et commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la classe d'équivalence de $0$, et l'élément neutre pour la multiplication est la classe de $1$. L'ensemble des éléments inversibles est $\{{\bar {m}};~\operatorname {PGCD} (m,n)=1\}$ où ${\bar {m}}$ désigne la classe d'équivalence de $m$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

L'anneau des polynômes $\mathbb {R} [X]$ : On considère l'ensemble des polynômes à coefficients réels $\mathbb {R} [X]$ muni de l'addition et de la multiplication des polynômes. C'est un anneau commutatif unitaire dont l'élément neutre pour l'addition est le polynôme nul, et l'élément neutre pour la multiplication est le polynôme constant égal à $1$. L'ensemble des éléments inversibles est $\mathbb {R} ^{*}$. Notons que l'on peut définir de façon similaire l'anneau des polynômes à coefficient dans un anneau commutatif $A$ que l'on note $A[X].$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

L'anneau des matrices $M_{n}(\mathbb {C} )$ : On considère l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficient dans $\mathbb {C}$ muni de l'addition et la multiplication usuelles des matrices. C'est un anneau unitaire mais non commutatif dont l'élément neutre pour l'addition est la matrice nulle et l'élément neutre pour la multiplication est la matrice identité $I_{n}$. L'ensemble des éléments inversibles est $GL_{n}(\mathbb {C} )=\{A\in M_{n}(\mathbb {C} );~\det(A)\neq 0\}$. Comme dans l'exemple précédent, on peut également considérer l'ensemble des matrices carrées à coefficient dans un anneau $A$.

Fin de l'exemple

Voyons maintenant une propriété qui montre les subtilités de la structure d'anneau. Observons l'exemple suivant sur l'anneau des matrices : soit $A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} )$ ; un calcul direct montre que $A^{2}=0$. Cet exemple montre que dans un anneau il est possible qu'un produit soit nul sans qu'aucun des facteurs ne le soit. Cela pousse à définir la notion d'anneau intègre suivante :

Définition

Un anneau $(A,+,\cdot )$, avec $A\neq \{0\}$, est dit intègre si la propriété suivante est vérifiée :
$\forall a,b\in A;~ab=0\Rightarrow a=0{\text{ ou }}b=0$.

À l'exception de l'anneau des matrices, tous les anneaux présentés dans l'exemple précédent sont intègres. Cette propriété est très utile pour la résolution d'équation produit-nul comme dans les ensembles de nombres classiques.

Pour conclure cette présentation des concepts fondamentaux de la théorie des anneaux, intéressons-nous à la notion d'idéal. Un idéal est une partie d'un anneau stable pour les deux opérations et muni d'une propriété d'absorption pour la multiplication. C'est une sous-structure importante pour un anneau qui va permettre l'étude de sa structure ainsi que la construction de nouveaux anneaux (dits anneaux quotients). Nous donnons la définition uniquement dans le cas d'un anneau commutatif pour ne pas surcharger cette page de présentation.

Définition

Soient $(A,+,\cdot )$ un anneau commutatif et $I$ une partie de $A$. Alors $I$ est un idéal de $A$ si :

1. $(I,+)$ est un sous groupe de $(A,+)$.
2. $\forall a\in A,i\in I;~a\cdot i\in I$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans l'anneau $\mathbb {Z}$, les sous-ensembles de la forme $n\mathbb {Z}$ sont des idéaux. L'anneau $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ est alors l'anneau quotient de $\mathbb {Z}$ par $n\mathbb {Z}$.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

Dans l'anneau $\mathbb {R} [X]$, les idéaux sont de la forme $P(X)\mathbb {R} [X]=\{PQ;~Q\in \mathbb {R} [X]\}$ avec $P\in \mathbb {R} [X]$ fixé.

Fin de l'exemple

À partir de ces quelques définitions, on peut déjà dégager deux questions importantes lors de l'étude d'un anneau $A$ :

• Quels sont les éléments inversibles de l'anneau, s'il en a ?
• Quels sont les idéaux de l'anneau ? On décline cette question par la recherche d'idéaux possédant des propriétés particulières (premiers, maximaux, etc.).

Remarque

Si le contenu de ce chapitre vous a intéressé, vous pouvez l'approfondir en consultant la leçon spécialisée : Anneau