Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert

Exercice 7-1

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur normal sur $H$, c.-à-d. $TT^{*}=T^{*}T$.

1. Montrer que $\ker T=\ker T^{*}=(\operatorname {im} T)^{\bot }$.
2. En déduire que $T$ est inversible si et seulement s'il existe une constante $C$ telle que : $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$.

Solution

1. • $\ker T=\ker T^{*}$, c.-à-d. $Tx=0\Leftrightarrow T^{*}x=0$, car $\|T^{*}x\|^{2}=\|Tx\|^{2}$ et même, $\langle T^{*}x,T^{*}y\rangle =\langle x,TT^{*}y\rangle =\langle x,T^{*}Ty\rangle =\langle Tx,Ty\rangle$.
   • $\ker T^{*}=(\operatorname {im} T)^{\bot }$ car $x\in (\operatorname {im} T)^{\bot }\Leftrightarrow \forall y\in H\quad \langle Ty,x\rangle =0\Leftrightarrow \forall y\in H\quad \langle y,T^{*}x\rangle =0\Leftrightarrow T^{*}x=0$.
2. Si $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$ alors $\ker T=\{0\}$ (donc $\operatorname {im} T$ est dense d'après la question 1), et $T^{-1}:\operatorname {im} T\to H$ est (bi)continue, donc $\operatorname {im} T$ est complet, si bien que $\operatorname {im} T=H$.
   Réciproquement, si $T$ est inversible alors $T^{-1}:H\to H$ continue (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach), d'où l'existence d'une constante $C$ telle que $\|Tx\|\geq C\|x\|$ pour tout $x\in H$.

 

Exercice 7-2

Soient $H$ un espace de Hilbert et $T$ un opérateur positif, c.-à-d. : pour tout $x\in H$, $\langle Tx,x\rangle \geq 0$.

1. Montrer, pour tous $x\in \ker T$, $y\in H$ et $t\in \mathbb {R}$, que $t\langle Ty,ty-x\rangle \geq 0$. En déduire que $\ker T\subset (\operatorname {im} T)^{\bot }$.
2. En considérant $T^{*}$, montrer que $\ker T=(\operatorname {im} T)^{\bot }$.
3. En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que $\mathrm {I} +tT$ est bijectif pour tout $t>0$.

Solution

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Exercice 7-3

On rappelle que l'espace de Sobolev $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ est le complété de l'espace préhilbertien ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} _{+})$ (espace des fonctions C^∞ à support compact) muni du produit scalaire $\langle u,v\rangle =\langle u,v\rangle _{2}+\langle u',v'\rangle _{2}$.

1. Montrer qu'il existe un opérateur $K$ sur $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ tel que pour tous $u,v\in H^{1}(\mathbb {R} _{+})$, $\langle Ku,v\rangle =u(0)v(0)$.
2. Montrer que $K$ est autoadjoint et de rang 1.
3. Soit $f\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} _{+})$. On considère le problème suivant : trouver $u$ tel que ${\begin{cases}-u''+u=f\\u'(0)+\alpha u(0)=0.\end{cases}}$
   En intégrant contre une fonction test $v\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} _{+})$, mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
   $\int _{\mathbb {R} _{+}}(u'v'+uv)-\alpha u(0)v(0)=\int _{\mathbb {R} _{+}}fv$.
4. En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution $u$ dans $H^{1}(\mathbb {R} _{+})$ si et seulement si $\alpha \neq 1$.

Solution

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