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#<math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^2+\left(\beta+\gamma\right)^2-2\beta\gamma=2\alpha^2+2/\alpha=2\frac{\alpha^3+1}\alpha=2</math>. |
#<math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^2+\left(\beta+\gamma\right)^2-2\beta\gamma=2\alpha^2+2/\alpha=2\frac{\alpha^3+1}\alpha=2</math>. |
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== Exercice 1-5 == |
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Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>. |
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<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\C[X]</math>, on obtient : <math>P=Q\overline Q</math>, avec <math>Q=ST\in\C[X]</math>. En décomposant <math>Q</math> sous la forme <math>A+\mathrm iB</math> avec <math>A,B\in\R[X]</math>, on conclut : <math>P=A^2+B^2</math>. |
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{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}} |
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Version du 21 décembre 2018 à 20:01
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-4
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-5
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .