Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

Notation exponentielle

Formule d'Euler

Définition

La formule d'Euler relie l'exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus dans le plan complexe : $\forall \theta \in \mathbb {R} \quad \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }=\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta$.

Voir l'annexe « Démonstration de la formule d'Euler ».

On remarque tout d’abord la périodicité : $\forall k\in \mathbb {Z} \quad \operatorname {e} ^{\mathrm {i} (\theta +2k\pi )}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$. Les valeurs particulières, qui sont les intersections du cercle trigonométrique avec les axes des réels et des imaginaires, sont : $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} 0}=\operatorname {e} ^{0}=1$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \sin \pi =-1$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /2}=\cos(\pi /2)+\mathrm {i} \sin(\pi /2)=\mathrm {i}$, $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} (-\pi /2)}=\cos(-\pi /2)+\mathrm {i} \sin(-\pi /2)=-\mathrm {i}$.

Valeurs particulières du cercle trigonométrique

Écriture exponentielle

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument principal $\theta$, on a : $z=r\left(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta \right)=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$.

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

Soient $z$ un nombre complexe non nul et $r$ son module.

La forme exponentielle de $z$ est : $z=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ pour tous les arguments $\theta$ de $z$.

Reconnaître un nombre complexe sous sa forme exponentielle

Tirer le module et un argument d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle

Réciproquement, tout nombre complexe z non nul, qui s'écrit $z=r\times e^{i\theta }$ avec $r>0$, a pour module r et a un argument égal à $\theta$: $|z|=r$ et $arg(z)=\theta [2\pi ]$.

Si $r<0$, alors $z=re^{i\theta }\times (-1)^{2}=(-r)(-1)e^{i\theta }=(-r)(e^{i\pi })e^{i\theta }=(-r)e^{i(\theta +\pi )}$, et on a : $|z|=-r$ et $arg(z)=\theta +\pi [2\pi ]$. Notez bien que $-r>0$.

Conjugué

Conjugué d’un nombre complexe sous sa forme exponentielle Soit z un nombre complexe non nul, sous sa forme exponentielle : $z=re^{i\theta }$. Le conjugué de z s'écrit : ${\bar {z}}=re^{i(-\theta )}$. Début d'une démonstration Démonstration $z=re^{i\theta }=r\cos(\theta )+ir\sin(\theta )$. ${\bar {z}}=r\cos(\theta )-ir\sin(\theta )=r\cos(-\theta )+ir\sin(-\theta ))$ car $\cos(-\theta )=\cos(\theta )$ et $\sin(-\theta )=-\sin(\theta )$. Au final : ${\bar {z}}=re^{i(-\theta )}$. Fin de la démonstration

Le conjugué d’un nombre complexe.

Exemple

Début de l'exemple

Écriture exponentielle et trigonométrique : Écrire un complexe sous ses différentes formes

1) Soit $z=4{\sqrt {3}}+4i$, écrire ce complexe sous forme exponentielle et trigonométrique :

• Calcul du module : $\rho =|z|={\sqrt {{(4{\sqrt {3}})}^{2}+{4}^{2}}}={\sqrt {48+16}}=8$
• Calcul de l'argument : ${\begin{cases}\cos {(\theta )}={\frac {4{\sqrt {3}}}{8}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\sin {(\theta )}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}$ d'où $\theta ={\frac {\pi }{6}}$

Donc $z=8e^{\left(i{\frac {\pi }{6}}\right)}=8(\cos {\left({\frac {\pi }{6}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)})$
2) Soit $\rho =3$ et $\theta ={\frac {2\pi }{3}}$, écrire ce complexe sous forme cartésienne.

• Calcul de la partie réelle : ${\begin{matrix}x&=&\rho \times \cos {(\theta )}=3\times \cos {\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\ &=&3\times \left({\frac {-1}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}\end{matrix}}$
• Calcul de la partie imaginaire : ${\begin{matrix}y&=&\rho \times \sin {(\theta )}=3\times \sin {\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\ &=&3\times \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\end{matrix}}$

D'où $z=-{\frac {3}{2}}+{\frac {3i{\sqrt {3}}}{2}}$

Fin de l'exemple

Propriétés des arguments et des modules

Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle : $z=re^{i\theta }$ et $z'=r'e^{i\theta '}$ avec $r>0$ et $r'>0$.

Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.

Produit

Produit de deux nombres complexes $zz'=re^{i\theta }\times r'e^{i\theta '}=(rr')e^{i\theta +i\theta '}=(rr')e^{i(\theta +\theta ')}$. Or $r>0$ et $r'>0$, d'où $rr'>0$. Au final, $|zz'|=rr'=|z||z'|$ et $arg(zz')=\theta +\theta '=arg(z)+arg(z')\,[2\pi ]$.

Produit de deux nombres complexes dans le cas général.

Carré d’un nombre complexe Le carré d’un nombre complexe a un module au carré et un argument qui double : $z^{2}=(re^{i\theta })^{2}=r^{2}(e^{i\theta })^{2}=r^{2}e^{i2\theta }$.

Carré d’un nombre complexe.

Opposé d’un nombre complexe $-z=-(re^{i\theta })=r(-1)e^{i\theta }=r(e^{i\pi })e^{i\theta }=re^{i\theta +i\pi }=re^{i(\theta +\pi )}$

Opposé d’un nombre complexe.

Inverse et division

Inverse d’un nombre complexe ${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\theta }}}={\frac {1}{r}}e^{i(-\theta )}$ car $z\neq 0$. Or $r>0\Rightarrow 1/r>0$. Au final, $\left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{r}}={\frac {1}{|z|}}$ et $arg\left({\frac {1}{z}}\right)=-\theta =-arg(z)\,[2\pi ]$.

Inverse d’un nombre complexe.

Division de deux nombres complexes ${\frac {z}{z'}}={\frac {re^{i\theta }}{r'e^{i\theta '}}}={\frac {r}{r'}}e^{i\theta -i\theta '}={\frac {r}{r'}}e^{i(\theta -\theta ')}$ car $z'\neq 0$. Or $r>0$ et $r'>0$, d'où ${\frac {r}{r'}}>0$. Au final, $\left|{\frac {z}{z'}}\right|={\frac {r}{r'}}={\frac {|z|}{|z'|}}$ et $arg\left({\frac {z}{z'}}\right)=\theta -\theta '=arg(z)-arg(z')\,[2\pi ]$.

Division de deux nombres complexes.

Puissance

Soit $n\in \mathbb {Z}$. Si $n\geq 0$ : $z^{n}=(re^{i\theta })^{n}=r^{n}(e^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }$. Si $n<0$, alors $-n>0$, d'où avec la propriété précédente $z^{-n}=r^{-n}e^{i(-n)\theta }$, et on a : $z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}}\Leftrightarrow z^{n}={\frac {1}{z^{-n}}}={\frac {1}{r^{-n}e^{i(-n)\theta }}}={\frac {1}{r^{-n}}}e^{-(i(-n)\theta )}=r^{n}e^{in\theta }$ car $z^{n}\neq 0$ et $z^{-n}\neq 0$. Puissance d’un nombre complexe D'où $\forall n\in \mathbb {Z} ,\,z^{n}=r^{n}e^{in\theta }$. Or $r>0\Rightarrow r^{n}>0$. Au final, $|z^{n}|=r^{n}=|z|^{n}$ et $arg(z^{n})=n\theta =n\times arg(z)\,[2\pi ]$.

Les 10 premières puissances d’un nombre complexe. Ici le module tend vers 0 car le complexe en question se trouve à l'intérieur du cercle trigonométrique. S'il avait été à l’extérieur, le module aurait tendu vers l'infini.

Exemples

Début de l'exemple

Propriétés des arguments et des modules : Exemple sur les propriétés

Soit $z=2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\right)}$, calculer :

• ${\bar {z}}={\overline {2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\right)}}}=2e^{\left(-i{\frac {\pi }{4}}\right)}$
• $-z=2e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}+i\pi \right)}=2e^{\left(i{\frac {5\pi }{4}}\right)}$
• ${z}^{3}={2}^{3}e^{\left(i{\frac {\pi }{4}}\times 3\right)}=8e^{\left(i{\frac {3\pi }{4}}\right)}$

Fin de l'exemple

Calculer le cosinus et le sinus d’un angle

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle $\theta$.

Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles a et b dont leur somme est égale à $\theta$, et de connaître leurs cosinus et sinus.

Voici ensuite la démarche à suivre :

• On a $a+b=\theta$ et on connaît $cos(a)$, $sin(a)$, $cos(b)$ et $sin(b)$.
• Pour simplifier, on prend un module de 1 (les points sont sur le cercle trigonométrique).
• Formule d'Euler : $e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )$.
• $e^{i\theta }=e^{i(a+b)}=e^{ia}e^{ib}=(\cos(a)+i\sin(a))(\cos(b)+i\sin(b))$.
• Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes qui correspondent à un module de 1 et à un argument respectivement de a et de b :
  $\cos(a)+i\sin(a)=x+iy$ et $\cos(b)+i\sin(b)=x'+iy'$. La réussite de l'exercice dépend de cette étape.
• Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique : $e^{ia}e^{ib}=(x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(x'y+xy')$.
• $e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )=e^{ia}e^{ib}=xx'-yy'+i(x'y+xy')$.
• On identifie, en séparant les parties réelles et imaginaires :
  $\cos(\theta )=xx'-yy'$ et $\sin(\theta )=x'y+xy'$.

Début de l'exemple

Déterminer la valeur exacte du cosinus et du sinus de ${\frac {7\pi }{12}}.$

On se propose de déterminer $\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$.

On remarque que ${\frac {7\pi }{12}}={\frac {\pi }{3}}+{\frac {\pi }{4}}$, et que leurs cosinus et sinus respectifs sont connus.

On pose $r=1$ (on prend les nombres complexes situés sur le cercle trigonométrique).

• Soit $z_{1}=e^{\left(i{\frac {\pi }{3}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{3}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{3}}\right)}$ et $z_{2}=e^{i\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}$.
  On a donc $e^{(i{\frac {7\pi }{12}})}=z_{1}z_{2}=\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)+i\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)$.
• On sait que $z_{1}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}$ et $z_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {i{\sqrt {2}}}{2}}$.
• On peut donc calculer la forme algébrique du produit.
  On trouve alors : $z_{1}z_{2}={\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}}{4}}+i{\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$.
• Par identification, ${\begin{cases}{\mbox{Re}}:\cos \left({\frac {7\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}}{4}}\\{\mbox{Im}}:\sin \left({\frac {7\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}\end{cases}}$.

Fin de l'exemple

Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Formules d'addition des cosinus et sinus

Formule d'Euler pour retrouver les formules d'addition de cos et sin

La formule d'Euler, $\forall \theta \in \mathbb {R} ,\,e^{i\theta }=\cos {(\theta )}+i\sin {(\theta )}$, nous permet de retrouver facilement les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Prenons deux angles et multiplions les nombres complexes qui leurs correspondent sur le cercle trigonométrique : $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\,e^{i(a+b)}=e^{ia}\times e^{ib}\Leftrightarrow \cos(a+b)\,+\,i\sin(a+b)=(\,\cos {a}\,+\,i\,\sin {a}\,)\times (\,\cos {b}\,+\,i\sin {b}\,)$.

En continuant le calcul, on a : $\cos(a+b)\,+\,i\sin(a+b)=\cos {a}\cos {b}\,-\,\sin {a}\sin {b}\,+\,i(\,\sin {a}\cos {b}\,+\,\cos {a}\sin {b}\,)$.

C'est en identifiant les parties réelles et les parties imaginaires que l’on obtient les formules déjà connues :

• $\cos(a+b)=\cos {a}\cos {b}-\sin {a}\sin {b}$, et
• $\sin(a+b)=\sin {a}\cos {b}+\cos {a}\sin {b}$.

Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes : $(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+x_{1}iy_{2}+iy_{1}x_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$. On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les x par des cos, les y par des sin, et bien sûr avec $i^{2}=-1$ !

Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple $cos(a+b+c)$ ou encore $sin(-a-b+c+d+e-f)$, en développant des formules plus compliquées.