Discussion:Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

Petite incohérence

Les propriétés des modules sont vues dans la partie d'avant, alors que les propriétés des arguments ne sont vues que dans cette partie. De plus, les propriétés des modules sont vues deux fois (cette partie et la partie d'avant).

C'est vrai qu’il faudra revoir la structure de ces deux pages. Il y a sans conteste des éléments à déplacer pour une construction plus cohérente de la leçon. Xzapro4 2 février 2008 à 16:38 (UTC)

Je m'en occupe. Pour plus de cohérence, je propose de renommer le chapitre "Module et argument" en "Écriture trigonométrique, module et argument", et ce chapitre en "Écriture exponentielle". tit_toinou 5 novembre 2010 à 17:23 (UTC)

Une propriété pratique

Calcul de l'argument :

$arg(z)=im(\ln(z))$

En effet: $ln(z)=ln(\rho \times e^{i(\theta +2k\pi )})=ln(\rho )\times ln(e^{i(\theta +2k\pi )})=ln(\rho )\times i(\theta +2k\pi )$

Donc : $Im(ln(z))=\theta +2k\pi$

Probablement, à ceci près que d’une part le logarithme népérien n'est défini pour les complexes que prolongé analytiquement, c'est-à-dire en tant que série entière (ce qui dépasse largement le cadre de cette leçon) et que son utilisation n'est guère avantageuse devant l'arctangente, laquelle est bien plus aisée à (pré)calculer. D'où vient cette relation (au passage fausse... bah oui, c’est faux ) ? Sharayanan _(blabla) 28 août 2007 à 04:16 (UTC)

Si on écrit plutôt :$ln(z)=ln(\rho \times e^{i(\theta +2k\pi )})=ln(\rho )+ln(e^{i(\theta +2k\pi )})=ln(\rho )+i(\theta +2k\pi )$ ce n’est pas complètement faux, mais ce n’est pas du niveau 12 ! Il faudrait définir le niveau de la leçon ! Nicostella ^[discut] 28 août 2007 à 08:17 (UTC)

Oups oui, plus bien sur... en fait on utilise parfois ça en ingénierie pour calculer la phase d'une réponse impulsionelle, c’est nettement plus pratique que l'arctangente. Je vous laisse juger si ça a une place ici ou là.

Définition et non démonstration

On définit un nombre complexe z comme pouvant s'écrire $z=r*e^{i\theta }$. Il en découle alors que $e^{i\theta }=\cos {(\theta )}+i\sin {(\theta )}$, sans pour autant qu'on comprenne pourquoi.

On pourrait peut-être aller dans l'autre sens en commençant par démontrer la seconde propriété, non ? — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par Tit toinou (d · c · b · s).

Techniquement, le corps des nombres complexes est introduit comme une extension du corps des nombres réels munis de leurs lois habituelles, avec l’introduction d'un nouvel élément i. La définition la plus intuitive est donc celle faisant intervenir l'écriture algébrique, qui est d'ailleurs l'écriture assurant l'unicité des coefficients, contrairement à l'écriture trigonométrique. De plus, l'exponentielle est un outil compliqué.

Ceci dit, il est vrai que la rédaction actuelle n'est peut-être pas la plus intuitive à lire. Je pense qu'un petit dessin pourrait aider. À partir d'un complexe a+ib placé sur un dessin, introduire son argument theta et son module r en les plaçant sur le dessin, et faire le parallèle entre les deux écritures pour terminer par introduire la notation exponentielle complexe. Xzapro4 _discuter 31 octobre 2010 à 13:03 (UTC)

Concernant les coordonnées cartésiennes versus coordonnées polaires : c’est quelque chose déjà appris en Première S. Donc on pourrait très bien faire comme tu dis un schéma, en donnant les deux notations : $z=x+iy$ et $z=r(\cos {(\theta )}+i\sin {(\theta )})$, ce qui ne change pas grand chose par rapport au cours de niveau inférieur.

Après l'écriture exponentielle, c’est autre chose. Ce que je souhaitais, c’était montrer pourquoi elle existait, et pas la balancer comme ça.

Posons $f(x)=\cos {(x)}+i\sin {(x)}$. Dérivons : $f'(x)=-\sin {(x)}+i\cos {(x)}=i\times (\cos {(x)}+i\sin {(x)})$. D'où on a l'équation différentielle : $f'(x)=i\times f(x)$, et avec le cours de Terminale S on sait que toutes les fonctions $g(x)=Ce^{ix},C\in \Re$ sont solutions.

Après on trouve $C=1$ ($f(0)=$ etc.), et on en déduit que $e^{i\theta }=\cos {(\theta )}+i\sin {(\theta )}$ ! ~ tit_toinou .

Approche intéressante et éclairante. Je ne peux que t'encourager à créer une nouvelle page pour développer cette approche de la fonction exponentielle complexe. Je dis nouvelle page car cette approche nécessite des connaissances préliminaires sur les équations différentielles que tous les lecteurs n'ont pas forcément en abordant un cours sur les complexes. Signaler cette condition avec le modèle {{Prérequis}}. Xzapro4 _discuter 3 novembre 2010 à 18:09 (UTC)

Je fais une page en Annexe ? Cela nécessite juste le cours de Terminale S.

Si la fonction exponentielle est apprise avant, le seul obstacle est qu’il faut supposer que la résolution de y'=ky soit applicable avec k=i. tit_toinou 3 novembre 2010 à 20:41 (UTC)

Titre du chapitre

Pourquoi le titre du chapitre est écriture trigonométrique ? On la connaît déjà vu que dans le chapitre d'avant on parle de z=r(cos(x)+isin(x)).. tit_toinou 4 novembre 2010 à 19:35 (UTC)

Pour le chapitre précédent, ce n'est qu'une présentation d'une notion qui sera utilisée au chapitre suivant. Comme à la fin d'une série télévisée on te fait sous-entendre ce qu’il va se passer au prochain.Crochet.david 4 novembre 2010 à 19:45 (UTC)

Il n'y a pas grand chose à dire sur la notation trigonométrique (il y a des trucs dans le chapitre précédent, même si la définition se trouve à la fin).

Toutes les formules de ce chapitre sont issues de la notation exponentielle (au passage admise). tit_toinou 4 novembre 2010 à 20:26 (UTC)