Leçons de niveau 13

Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

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Module et argument
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Chapitre no 6
Leçon : Calcul avec les nombres complexes
Chap. préc. : Division de deux complexes
Chap. suiv. : Écriture exponentielle et trigonométrique
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Calcul avec les nombres complexes/Module et argument
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Module d’un nombre complexe[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]


Module of a complex number.svg



Distance entre deux points[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème




Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Argument d’un nombre complexe non nul[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Argument d’un nombre complexe ».



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Écriture trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]

Cosinus et sinus[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre complexe non nul, son module , d'argument principal , et M le point d'affixe z.

On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l’axe des réels.

Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d’une mesure de l'angle orienté donnent les deux propriétés suivantes :


Forme trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]

On sait que : et .

Et on a alors : .



Changer d'écriture[modifier | modifier le wikicode]

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme , de module et d'argument principal .

Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d’une écriture à une autre :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Égalité de deux nombres complexes[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés du module[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés algébriques de l'argument[modifier | modifier le wikicode]

Produit[modifier | modifier le wikicode]


Arguments sum.svg


Inverse et division[modifier | modifier le wikicode]


Puissance[modifier | modifier le wikicode]

Conjugués[modifier | modifier le wikicode]


Calcul de l'argument[modifier | modifier le wikicode]

Calcul avec le cosinus et le sinus[modifier | modifier le wikicode]

Connaissant la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe, on peut calculer son et son .

Il faut ensuite en déduire un angle en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Calcul avec la tangente[modifier | modifier le wikicode]

L'argument est alors déterminé à près, il faut décider entre et en utilisant le signe de a (généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]-] ):

  • si alors est dans
  • si alors si alors et si alors
  • si alors est dans


Remarque : Une rapide représentation des complexes , , et sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :

  • Inférieur ou égal à pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
  • Inférieur ou égal à pour les montages du second ordre (RLC).
  • Inférieur ou égal à pour les montages du troisième ordre.
  • Inférieur ou égal à pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
    Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.

Argument d’une différence[modifier | modifier le wikicode]


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Calcul de modules et d'arguments.