Calcul avec les nombres complexes/Annexe/Démonstration de la formule d'Euler

Le but de cette leçon annexe est, sans réellement la démontrer, de donner quelques explications sur la formule d'Euler admise dans le cours, avec les connaissances d'un niveau de Terminale S.

Cette leçon est aussi l’occasion d'aller un peu plus loin dans le cours et ainsi d’aborder la dérivée (à valeurs complexes) d'une fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$, associant à un réel un complexe.

Cette section nécessite des connaissances sur Équation différentielle y' = ky. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.

Préliminaires

Formule d'Euler

Formule d'Euler

Dans le plan complexe, la formule d'Euler relie l'exponentielle complexe avec le cosinus et le sinus :

$\forall t\in \mathbb {R} \quad \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}=\cos t+\mathrm {i} \sin t$.

Ainsi dans ce même plan, $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}$, quand t parcourt $]-\pi ,\pi ]$, décrit un cercle : celui de rayon 1 et ayant pour origine le centre du repère, c'est-à-dire le cercle trigonométrique.

Fonction du temps

Considérons la fonction $\forall t\in \mathbb {R} \quad f(t)=\cos t+\mathrm {i} \sin t$. Elle associe à tout t un point du cercle trigonométrique.

Les fonctions que l’on avait l'habitude de voir étaient de la forme $y=f(x)$, ainsi on associait à chaque abscisse une ordonnée.

Ce nouveau type de fonction peut être mis en relation avec les courbes dites paramétrées : on associe à chaque instant t un point (avec une abscisse et une ordonnée), c'est-à-dire que l’on a deux fonctions qui varient au fil du temps.

Notre fonction f renvoie un nombre sous la forme $x+\mathrm {i} y$. On peut donc associer à chaque instant t un point dans le plan complexe d'affixe $f(t)=\cos t+\mathrm {i} \sin t$.

Fonction vectorielle

On peut considérer que les fonctions qui renvoient un nombre complexe renvoient en fait l'affixe d'un vecteur qui, s'il est non nul, a un module et un argument.

La fonction en question, f, est plutôt simple, car le module est 1 et l'argument le même que t.

Notion de dérivée complexe

La dérivée de f est aussi une fonction qui retourne un nombre complexe, et se calcule avec les mêmes méthodes que d'habitude.

f'(t) fournit des informations sur le déplacement du point d'affixe f(t) en fonction de t : la direction, le sens et la norme. Ces trois informations sont regroupées dans le vecteur d'affixe f'(t) avec le module et l'argument, si le vecteur n’est pas nul.

Démonstration et explications

Dérivée de la fonction

$\forall t\in \mathbb {R} \quad f(t)=\cos t+\mathrm {i} \sin t$.

Dérivons f avec les outils habituels : $\cos 't=-\sin t$ et $\sin 't=\cos t$.

D'où $\forall t\in \mathbb {R} \quad f'(t)=-\sin t+\mathrm {i} \cos t$.

On remarque alors qu'en multipliant f par i, on retrouve f' : $\forall t\in \mathbb {R} \quad \mathrm {i} f(t)=\mathrm {i} (\cos t+\mathrm {i} \sin t)=\mathrm {i} \cos t+\mathrm {i} ^{2}\sin t=-\sin t+\mathrm {i} \cos t$.

Ainsi :

Équation différentielle.

On a l'équation différentielle : $f'=\mathrm {i} f$.

Explication géométrique

La direction du vecteur vitesse d'un point qui tourne uniformément sur un cercle est perpendiculaire à la droite entre le point et le centre du cercle en question, au point en question.

Un point qui tourne uniformément sur un cercle, et son vecteur vitesse instantanée.

On sait que $\arg(\mathrm {i} )={\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$ et $|\mathrm {i} |=1$. D'après la multiplication complexe, $\forall z\in \mathbb {C} \quad \arg(\mathrm {i} z)={\frac {\pi }{2}}+\arg(z){\pmod {2\pi }}$ et $|\mathrm {i} z|=|z|$. Le point d'affixe z a donc subi une rotation d'angle droit orienté ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre O (le centre du repère).

La multiplication par le nombre imaginaire i d'un nombre complexe quelconque.

Ainsi, on peut faire la relation entre $f'(t)=\mathrm {i} f(t)$ et le vecteur vitesse d'un objet qui tourne régulièrement sur le cercle trigonométrique (cf. animation).

Explication géométrique de l'équation différentielle.

Résolution de l'équation différentielle dans le cas général

L'équation différentielle $y'=ky$ se résout avec la fonction exponentielle. Cette résolution fait partie du cours de Terminale S.

Plus précisément : lorsque k est un réel, l'unique fonction g telle que $g'=kg$ et $g(0)=1$ est donnée par $\forall t\in \mathbb {R} \quad g(t)=\mathrm {e} ^{kt}$.

Pour k = 1, cela constitue une définition de la fonction exponentielle. Pour k un réel quelconque, on peut alors vérifier en dérivant g : $g'(t)=k\operatorname {e} ^{kt}=kg(t)$.

Résolution de notre équation différentielle

On va admettre ici le passage de k à un complexe (en l’occurrence le nombre imaginaire i) :

Théorème (admis) et définition

Il existe une unique fonction dérivable $g:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ telle que $g'=\mathrm {i} g$ et $g(0)=1$. Cette fonction est notée $g(t)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$.

C'est l'unicité de cette fonction $g$ qui est admise et donne un sens à la définition et à la notation $\operatorname {e} ^{\mathrm {i} t}$, mais l'existence vient d'être démontrée : la fonction $f(t)=\cos t+\mathrm {i} \sin t$ est une solution de l'équation différentielle et $f(0)=\cos 0+\mathrm {i} \sin 0=1$. D'où $g=f$, c'est-à-dire :

Résolution de l'équation différentielle.

$\forall t\in \mathbb {R} \quad \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}=\cos t+\mathrm {i} \sin t$.