« Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations » : différence entre les versions
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Soient : |
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*<math>h</math> une homothétie, de centre <math>A</math> et de rapport <math>k</math> ; |
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On rappelle que <math>t\circ h</math> et <math>h\circ t</math> sont des homothéties de rapport <math>k</math>. |
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Nous noterons : |
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*<math>I</math> le centre de <math>t\circ h</math> ; |
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*<math>J</math> celui de <math>h\circ t</math> ; |
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*<math>B</math> l'image de <math>A</math> par <math>t\circ h</math>. |
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Montrez que : |
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#<math>\vec{IB}=k\vec{IA}</math> ; |
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#<math>B=t(A)</math> ; |
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Soit <math>B</math> l'image de <math>A</math> par <math>t\circ h</math> <math>\left(B=t\left(h(A)\right)\right)</math>. |
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#<math>\vec{AJ}=\frac k{1-k}\vec u</math>. |
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#Immédiat, par définition de <math>I</math> et <math>B</math>. |
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#Immédiat, par définition de <math>A</math> et <math>B</math>. |
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#Immédiat, par la question précédente. |
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#D'après les questions 3 et 1, <math>\vec{AI}-\vec u=\vec{AI}-\vec{AB}=\vec{BI}=k\vec{AI}</math>, donc <math>(1-k)\vec{AI}=\vec u</math>. |
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#<math>J</math> est aussi le centre de <math>(h\circ t)^{-1}=t^{-1}\circ h^{-1}</math> donc en remplaçant <math>h</math> et <math>t</math> par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : <math>\vec{AJ}=\frac1{1-\frac1k}(-\vec u)=\frac k{1-k}\vec u</math>. |
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'''5°''' Montrer que <math>\vec{AJ}=\frac{k}{1-k}\vec u</math> |
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== Exercice 2-4 == |
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Version du 3 juillet 2018 à 11:49
Exercice 2-1
Soit et deux points d'un plan.
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
1° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
2° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
3° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur .
4° est la translation de vecteur .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
Solution
- est la translation de vecteur , où est le milieu de .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , c.-à-d. le symétrique de par rapport à .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
Exercice 2-2
Soient :
- trois points d'un plan ;
- l'homothétie de centre et de rapport ;
- la translation de vecteur .
Donnez la nature des transformations et et construisez leurs centres.
Solution
et sont deux homothéties de rapport . Notons et leurs centres respectifs.
- donc .
- donc .
Remarque : la donnée des points et ne sert pas : seul le vecteur de la translation est utile.
Exercice 2-3
Soient :
- une homothétie, de centre et de rapport ;
- une translation, de vecteur .
On rappelle que et sont des homothéties de rapport . Nous noterons :
- le centre de ;
- celui de ;
- l'image de par .
Montrez que :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Solution
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par la question précédente.
- D'après les questions 3 et 1, , donc .
- est aussi le centre de donc en remplaçant et par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : .