Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations

Exercice 2-1

Soit $A$ et $B$ deux points d'un plan.

Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g\circ f$.

1°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$.

2°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-{\frac {1}{2}}$.

3°  $f$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$.

$g$ est la translation de vecteur ${\vec {AB}}$.

4°  $f$ est la translation de vecteur $2{\vec {AB}}$.

$g$ est l'homothétie de centre $B$ et de rapport $-3$.

Solution

1. $g\circ f$ est la translation de vecteur ${\vec {AI}}$, où $I:=g\circ f(A)=g(A)$ est le milieu de $[AB]$.
2. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $-{\frac {3}{2}}$ qui envoie $A$ sur $g(A)=B-{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}-{\frac {1}{2}}{\vec {BA}}=-{\frac {3}{2}}{\vec {\Omega A}}$, soit $\Omega =A+{\frac {3}{5}}{\vec {AB}}$.
3. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $2$ qui envoie $A$ sur $B$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}=2{\vec {\Omega A}}$, c.-à-d. le symétrique de $B$ par rapport à $A$.
4. $g\circ f$ est l'homothétie de rapport $-3$ qui envoie $B-2{\vec {AB}}$ sur $B$. Son centre est donc le point $\Omega$ tel que ${\vec {\Omega B}}=-3\left({\vec {\Omega B}}-2{\vec {AB}}\right)$, soit $\Omega =A-{\frac {1}{2}}{\vec {AB}}$.

 

Exercice 2-2

Soient :

• $A,\,B,\,C$ trois points d'un plan ;
• $f$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ ;
• $g$ la translation de vecteur ${\vec {BC}}$.

Donnez la nature des transformations $g\circ f$ et $f\circ g$ et construisez leurs centres.

Solution

$g\circ f$ et $f\circ g$ sont deux homothéties de rapport $-2$. Notons $\Omega$ et $\Omega '$ leurs centres respectifs.

• $-2{\vec {\Omega A}}={\vec {\Omega A}}+{\vec {BC}}$ donc $\Omega =A+{\frac {1}{3}}{\vec {BC}}$.
• $-2{\vec {\Omega 'B}}={\vec {\Omega 'A}}-2{\vec {AC}}$ donc $\Omega '=A-{\frac {2}{3}}{\vec {BC}}$.

Remarque : la donnée des points $B$ et $C$ ne sert pas : seul le vecteur de la translation $g$ est utile.

 

Exercice 2-3

Soit $h$, l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$.

Soit $t$, la translation de vecteur ${\vec {u}}$.

On rappelle (vu en cours) que $t\circ h$ est une homothétie de rapport $k$.

Nous noteront $I$ le centre de $t\circ h$.

Nous noteront aussi $J$ le centre de $h\circ t$.

Soit $B$ l'image de $A$ par $t\circ h$ $\left(B=t\left(h(A)\right)\right)$.

1°  Montrer que ${\vec {IB}}=k{\vec {IA}}$.

2°  Justifiez que $B=t(A)$

3°  Montrer que ${\vec {AB}}={\vec {u}}$

4°  Montrer que ${\vec {AI}}={\frac {1}{1-k}}{\vec {u}}$

5°  Montrer que ${\vec {AJ}}={\frac {k}{1-k}}{\vec {u}}$

Solution

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Exercice 2-4

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