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'''1.''' |
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'''1.''' |
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<math>\underline E_1=E_1\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)+j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_1e^{j\omega t}\exp\left(-j\omega\frac zc\right)</math> |
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<math>\underline E_1=E_1\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)+j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_1e^{j\omega t}\exp\left(-j\omega\frac zc\right)</math> |
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<math>\underline E_2=E_2\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)-j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_2e^{-j\omega t}\exp\left(j\omega\frac zc\right)</math> |
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:<math>\underline E_2=E_2\left[\cos\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)-j\sin\left(\omega\left(t-\frac zc\right)\right)\right]=E_2e^{-j\omega t}\exp\left(j\omega\frac zc\right)</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\begin{cases} |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\begin{cases} |
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'''2.''' |
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'''2.''' |
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<math>\begin{align}\underline E_0&=E_0\cos(\omega t-kz)e^{j\alpha}\\ |
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:<math>\begin{align}\underline E_0&=E_0\cos(\omega t-kz)e^{j\alpha}\\ |
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&=\frac12E_0\left(e^{j(\omega t-kz)}+e^{-j(\omega t-kz)}\right)e^{j\alpha}\\ |
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&=\frac12E_0\left(e^{j(\omega t-kz)}+e^{-j(\omega t-kz)}\right)e^{j\alpha}\\ |
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&=\frac12E_0e^{j\alpha}e^{j\omega t}e^{-jkz} + \frac12E_0e^{j\alpha}e^{-j\omega t}e^{jkz}\\ |
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&=\frac12E_0e^{j\alpha}e^{j\omega t}e^{-jkz} + \frac12E_0e^{j\alpha}e^{-j\omega t}e^{jkz}\\ |
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On pose alors : |
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On pose alors : |
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<math>\underline e_1=\frac12E_0e^{j(\alpha-kz)}</math> |
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:<math>\underline e_1=\frac12E_0e^{j(\alpha-kz)}</math> |
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<math>\underline e_2=\frac12E_0e^{j(\alpha+kz)}</math> |
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:<math>\underline e_2=\frac12E_0e^{j(\alpha+kz)}</math> |
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Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver <u>E</u><sub>1</sub> et <u>E</u><sub>2</sub> tels qu'il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1. |
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Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver <u>E</u><sub>1</sub> et <u>E</u><sub>2</sub> tels qu'il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1. |
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'''3.''' <math>\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)=\arg\left(\frac{E_0^2}4e^{2i\alpha}\right)=2\alpha</math> |
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'''3.''' <math>\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)=\arg\left(\frac{E_0^2}4e^{2i\alpha}\right)=2\alpha</math> |
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<math>(\vec u_x,\vec E_0)=\arg(\underline E_0)=\alpha</math> |
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:<math>(\vec u_x,\vec E_0)=\arg(\underline E_0)=\alpha</math> |
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{{cadre simple|contenu=Finalement, <math>(\vec u_x,\vec E_0)=\frac12\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)</math>}} |
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{{cadre simple|contenu=Finalement, <math>(\vec u_x,\vec E_0)=\frac12\arg(\underline e_1\cdot\underline e_2)</math>}} |
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Polarisation
Ondes électromagnétiques/Exercices/Polarisation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice
Partie 1
Décrire l'état de polarisation de chacune des 3 ondes représentées par les champs électriques suivants :
- Quel est l'état de polarisation de l'onde dont le champ électrique est en supposant E1=E2 ?
Solution
1. Soit .
L'onde 0 est polarisée rectilignement suivant .
2.
L'onde 1 est polarisée circulairement à gauche.
3.
L'onde 2 est polarisée circulairement à droite.
4.
L'onde représentée par est polarisée rectilignement suivant .
Partie 2
On associe à tout vecteur de l'espace la grandeur complexe .
- Quelles sont les amplitudes complexes e1 et e2 associées aux champs électriques et ?
- Montrer que la quantité complexe associée au champ est de la forme . Exprimer les amplitudes complexes e1 et e2. Conclure
- Exprimer l'angle entre et en fonction de
Solution
1.
Donc
2.
On pose alors :
Ceci est possible car, pour toute valeur de α, on est capables de trouver E1 et E2 tels qu'il n'y ait pas d'incompatibilité entre ce qu'on vient de poser et les expressions obtenues question 1.
On en déduit que toute onde polarisée rectilignement peut se décomposer comme somme d'une onde polarisée circulairement à gauche et d'une onde polarisée circulairement à droite.
3.
Finalement,