« Intégration en mathématiques/Primitives » : différence entre les versions
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m →Cas des fonctions composées: : -> Erreur dans le tableau un "2" c'était glissé à la place d'un "n" |
→Exemple: : -> Ajout d'un exemple avec ajustement des coefficients |
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{{Exemple |
{{Exemple |
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| contenu = Soit <math>f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}</math> |
| contenu = Soit <math>f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}</math> |
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<math>f(x)= \frac{u'}{\sqrt{u}} </math> |
<math>f(x)= \frac{u'}{\sqrt{u}} </math> |
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Avec ici: |
Avec ici: |
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Ligne 146 : | Ligne 147 : | ||
et <math>u'(x)= 2x </math> |
et <math>u'(x)= 2x </math> |
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<math> F=2\sqrt{u} </math> |
<math> F=2\sqrt{u} </math> |
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Donc <math>F(x)=2\sqrt{x^2-1}</math> est une primitive de f sur ]-∞;-1[ ou ]1;+∞[. |
Donc <math>F(x)=2\sqrt{x^2-1}</math> est une primitive de f sur ]-∞;-1[ ou ]1;+∞[. |
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}} |
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{{Exemple |
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| contenu = Soit <math>f(x)= 6x^2(x^3+5)^4</math> |
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<math>f(x)= 2u'u^n </math> |
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Avec ici: |
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<math> u(x)= x^3+5 </math> |
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et <math>u'(x)= 3x^2 </math> |
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<math> F= 2 \frac{u^{n+1}}{n+1}+k </math> |
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Donc <math>F(x)= 2 \frac{(x^3+5)^5}{5}+k</math> |
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<math> = \frac {2}{5}(x^3+5)^5+k </math> est une primitive de f sur ℝ. |
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}} |
}} |
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Version du 19 février 2013 à 11:27
Primitive d'une fonction sur un intervalle
Définition:
f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et tel que pour tout x appartenant à I: F'(x) est égale à f(x)
Exemple:
Exemple
f(x)=2x F définie par F(x)= est une primitive de f sur ℝ. F définie par F(x)= est une autre primitive de f sur ℝ.
Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle :
f est une fonction définie sur un interval I. Si f est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives toute de la forme: xF(x) + k (k étant un réel)
Primitive prenant une valeur donnée à un réel :
x est un réel donné dans I et y un réel donné. Alors il existe une primitive est une seule de f sur I tel que: F(x)=y
Exemple:
Exemple
f(x)=2x Déterminer la primitive de f tel que F(0)=4 (k est un réel): ensemble des primitives de f sur ℝ. On résout ⇔
F:x↦ est la primitive de f tel que F(0)= 4
Calculs de primitives:
Avec contante appartenant à ℝ
f(x)=... | F(x)=... | sur I=... |
c (c ∈ ℝ ) | ℝ | |
x | ℝ | |
(n ∈ ℕ* ) | ℝ | |
]-∞;0[ ou ]0;+∞[ | ||
(n nombre entier ≥2) | ]-∞;0[ ou ]0;+∞[ | |
]0;+∞[ | ||
]0;+∞[ | ||
ℝ | ||
ℝ | ||
sin(x) | ℝ |
Exemple:
Primitives et opérations sur les fonctions:
- Si F et G sont deux primitives de f et g sur I alors F+G est une primitive de f+g sur I.
- Si F est une primitive de f sur I et λ un réel alors lambda fois F est une primitive de λf sur I.
Cas des fonctions composées:
Soit u dérivable sur I.
f(x)=... | F(x)=... | Condition: |
(n ∈ ℕ*) | ||
u(x)≠ 0 sur I | ||
(n entier ≥ 2) | u(x)≠ 0 sur I | |
u(x)> 0 sur I | ||
u(x)> 0 sur I | ||
Exemple:
Méthode pour les fonctions composées :
- Identification de la formule à utiliser.
- Coefficienté pour faire apparaître l'expression de u' souhaités, si nécessaire, et conclure sur la primitive.