Intégration en mathématiques/Primitives

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Définition:

f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et tel que pour tout x appartenant à I: F'(x) est égale à f(x)

Exemple:

Début de l'exemple

Exemple

f(x)=2x F définie par F(x)= $x^{2}$ est une primitive de f sur ℝ. F définie par F(x)= $x^{2}+1$ est une autre primitive de f sur ℝ.

Fin de l'exemple

Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle :

f est une fonction définie sur un interval I. Si f est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives toute de la forme: xF(x) + k (k étant un réel)

Primitive prenant une valeur donnée à un réel :

x est un réel donné dans I et y un réel donné. Alors il existe une primitive est une seule de f sur I tel que: F(x)=y

Exemple:

Début de l'exemple

Exemple

f(x)=2x Déterminer la primitive de f tel que F(0)=4 $x^{2}+k$ (k est un réel): ensemble des primitives de f sur ℝ. On résout $x^{2}+k=4$ ⇔ $k=4$

F:x↦ $x^{2}+4$ est la primitive de f tel que F(0)= 4

Fin de l'exemple

Calculs de primitives:

Avec $k$ contante appartenant à ℝ

f(x)=...	F(x)=...	sur I=...
c (c ∈ ℝ )	$cx+k$	ℝ
x	$1/2x^{2}+k$	ℝ
$x^{n}$ (n ∈ ℕ* )	${\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k$	ℝ
${\frac {1}{x^{2}}}$	${\frac {-1}{x}}+k$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$1/x^{n}$(n nombre entier ≥2)	${\frac {-1}{(n-1)x^{n+1}}}+k$	]-∞;0[ ou ]0;+∞[
$1/{\sqrt {x}}$	$2{\sqrt {x}}+k$	]0;+∞[
$1/x$	$ln(x)+k$	]0;+∞[
$e^{x}$	$e^{x}+k$	ℝ
$sin(x)$	$-cos(x)$	ℝ
$cos(x)$	sin(x)	ℝ

Exemple:

Début de l'exemple

Exemple

f défini sur ℝ par $2x^{3}-5x^{2}+3x-4$

   F(x)$=2{\frac {x^{4}}{4}}-5{\frac {x^{3}}{3}}+3{\frac {x^{2}}{2}}-4x+k$
   $={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-4x+k$ (k ∈ ℝ)
     = Ensemble des primitives de f sur ℝ

Fin de l'exemple

Primitives et opérations sur les fonctions:

• Si F et G sont deux primitives de f et g sur I alors F+G est une primitive de f+g sur I.
• Si F est une primitive de f sur I et λ un réel alors lambda fois F est une primitive de λf sur I.

Cas des fonctions composées:

Soit u dérivable sur I.

f(x)=...	F(x)=...	Condition:
$u'u^{n}$ (n ∈ ℕ*)	${\frac {u^{n+1}}{n+1}}+k$
${\frac {u'}{u^{2}}}$	$-{\frac {1}{u}}+k$	u(x)≠ 0 sur I
${\frac {u'}{u^{n}}}$ (n entier ≥ 2)	$-{\frac {1}{(n-1)u^{n+1}}}+k$	u(x)≠ 0 sur I
${\frac {u'}{\sqrt {u}}}$	$2{\sqrt {u}}+k$	u(x)> 0 sur I
${\frac {u'}{u}}$	$ln(u)+k$	u(x)> 0 sur I
$u'e^{u}$	$e^{u}+k$

Exemple:

Début de l'exemple

Exemple

Soit $f(x)={\frac {2x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$ $f(x)={\frac {u'}{\sqrt {u}}}$

Avec ici: 
        $u(x)=x^{2}-1$
        et $u'(x)=2x$

$F=2{\sqrt {u}}$ Donc $F(x)=2{\sqrt {x^{2}-1}}$ est une primitive de f sur ]-∞;-1[ ou ]1;+∞[.

Fin de l'exemple

Méthode pour les fonctions composées :

• Identification de la formule à utiliser.
• Coefficienté pour faire apparaître l'expression de u' souhaités, si nécessaire, et conclure sur la primitive.