Réduction des endomorphismes/Sous-espaces stables

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$\mathbb {K} \,$ est un corps et $E\,$ est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel de dimension finie.

Définition

Définition : Sous-espace stable par un endomorphisme

Soit $\varphi \in {\mathcal {L}}(E)\,$. Un sous-espace $F\,$ de $E\,$ est dit stable par $\varphi \,$ si $\varphi (F)\subset F\,$ , c'est-à-dire :

$\forall x\in F,\;\varphi (x)\in F\,$

On dit alors que $\varphi \,$ induit un endomorphisme sur $F\,$ :

${\begin{matrix}\varphi _{F}:&F&\longrightarrow &F\\&x&\longmapsto &\varphi (x)\end{matrix}}$.

Représentation matricielle

Propriété

Si $E\,$ est muni d'une base adaptée à $F\,$ (c'est-à-dire une base de $F\,$ complétée en une base de $E\,$), la matrice représentative de $\varphi \,$ peut être notée par blocs

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

Alors $F\,$ est un espace stable par $\varphi \,$ si et seulement si $C=0\,$, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur $F\,$ est $A\,$.

Lien avec la commutativité

Propriété

Si deux endomorphismes $\varphi _{1}\,$ et $\varphi _{2}\,$ commutent, alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.

Démonstration

1/ Montrons que $\mathrm {Ker} \;\varphi _{2}\,$ est stable par $\varphi _{1}\,$.
Soit donc $x\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}\,$ . On veut montrer que $\varphi _{1}(x)\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}\,$ : on calcule donc :
$\varphi _{2}(\varphi _{1}(x))=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x))=\varphi _{1}(0)=0\,$

• la première égalité est due au fait que $\varphi _{1}\,$ et $\varphi _{2}\,$ commutent
• la deuxième égalité est due au fait que $x\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}\,$
• la troisième égalité est due au fait que $\varphi _{1}\,$ est linéaire.

Ainsi, $\varphi _{1}(x)\in \mathrm {Ker} \;\varphi _{2}\,$.
2/ Montrons que $\mathrm {Im} \;\varphi _{2}\,$ est stable par $\varphi _{1}\,$.
Soit donc $y\in \mathrm {Im} \;\varphi _{2}\,$ . Donc $\exists x\in E|\varphi _{2}(x)=y\,$. On veut montrer que $\varphi _{1}(y)\in \mathrm {Im} \;\varphi _{2}\,$ : on remarque donc que :
$\varphi _{1}(y)=\varphi _{1}(\varphi _{2}(x))=\varphi _{2}(\varphi _{1}(x))\in \mathrm {Im} \;\varphi _{2}\,$ .