« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions
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==Exercice 7-2== |
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Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]<ref>Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur <math>T</math> qui, en plus de vérifier <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math>, est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'[[../Espaces de Hilbert#Exercice 7-1|exercice 7-1]] suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur <math>T</math> est autoadjoint si et seulement si <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\in\R</math>. Mais sur <math>\R^2</math>, <math>T:(x_1,x_2)\mapsto(x_1+x_2,x_2)</math> vérifie <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math> et n'est pas autoadjoint ni même normal.</ref> : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle \ge0</math>. |
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Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle \ge0</math>. |
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#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle \geq 0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>. |
#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle \geq 0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>. |
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#En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>. |
#En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>. |
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#En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t |
#En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t\ge0</math>. |
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==Exercice 7-3== |
==Exercice 7-3== |
Version du 19 octobre 2021 à 20:46
Exercice 7-1
Soient un espace de Hilbert et un opérateur normal sur , c.-à-d. .
- Montrer que .
- En déduire que est inversible si et seulement s'il existe une constante telle que : pour tout .
Solution
-
- , c.-à-d. , car et même, .
- car .
- Si pour tout alors (donc est dense d'après la question 1), et est (bi)continue, donc est complet, si bien que .
Réciproquement, si est inversible alors continue (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach), d'où l'existence d'une constante telle que pour tout .
Exercice 7-2
Soient un espace de Hilbert et un opérateur positif, c.-à-d.[1] : pour tout , .
- Montrer, pour tous , et , que . En déduire que .
- En considérant , montrer que .
- En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que est bijectif pour tout .
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
- ↑ Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur qui, en plus de vérifier , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur est autoadjoint si et seulement si . Mais sur , vérifie et n'est pas autoadjoint ni même normal.
Exercice 7-3
On rappelle que l'espace de Sobolev est le complété de l'espace préhilbertien (espace des fonctions C∞ à support compact) muni du produit scalaire .
- Montrer qu'il existe un opérateur sur tel que pour tous , .
- Montrer que est autoadjoint et de rang 1.
- Soit . On considère le problème suivant : trouver tel que
En intégrant contre une fonction test , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
. - En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution dans si et seulement si .
Solution
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» du modèle. Comment faire ?