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##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>.
##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>.
#Pour chaque point <math>a\in\C</math>, on pose
#Pour chaque point <math>a\in\C</math>, on pose
#:<math>\varphi_a(z):=\frac{z-a}{1-\overline az},\quad\forall z\in\overline\C</math>
#:<math>\varphi_a(z):=\frac{z-a}{1-\overline az}\quad\text{et}\quad\varphi_\infty(z):=\frac1z ,\quad\forall z\in\overline\C</math>.
#:On suppose dans cette question que <math>R</math> est une [[Fonctions homographiques|homographie]] <math>h</math> qui vérifie <math>(*)</math>. Montrer qu'il existe <math>\alpha\in\R</math> et <math>a\in\overline\C</math> tels que <math>h(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\varphi_a(z)</math> pour tout <math>z\in\overline\C</math>.
⚫
#:
et <math>
\varphi_\infty(z):=\
frac1z,\quad\forall z\in\overline\C</math>
.
#On revient au cas général d'une fraction rationnelle <math>R</math> vérifiant <math>(*)</math> et l'on définit la fonction suivante :
{{en cours}}
⚫
#:<math>
S (z):=\
frac1{\overline R(1/\overline z)} ,\quad\forall z\in\overline\C</math>
#:où <math>\overline R(w)</math> désigne le conjugué de <math>R(w)</math>. Montrer que <math>S</math> est une fraction rationnelle de la variable complexe <math>z</math> vérifiant <math>S(z)=R(z)</math> pour <math>|z|=1</math>. Comparer <math>S</math> et <math>R</math> sur <math>\C</math>.
#
##Montrer qu'un élément <math>a\in\C\setminus\{0\}</math> est un zéro de <math>R</math> si et seulement si <math>1/\overline a</math> est un pôle de <math>R</math>. Interpréter géométriquement ce résultat.
##Montrer que si <math>R(0)\ne0</math> et <math>R(0)\ne\infty</math>, alors il existe <math>\alpha\in\R</math> tel que R s'écrive sous la forme
##:<math>R(z)=\operatorname e^{\mathrm i\alpha}\prod_{k=1}^m\frac{z-a_k}{1-\overline{a_k}z},\quad\forall z\in\overline\C</math>
##:où <math>a_1,\dots,a_m</math> sont les zéros de <math>R</math> comptés avec leur multiplicité.
#Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable <math>z</math> qui vérifient la condition <math>(*)</math>
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{{Solution|contenu=
}}
}}
Version du 15 septembre 2021 à 12:06
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Fonctions holomorphesFonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 3-1
On désigne par
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
,
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
et
ω
3
{\displaystyle \omega _{3}}
les trois racines cubiques de
−
1
{\displaystyle -1}
et l'on note
D
k
:=
{
t
ω
k
∣
t
∈
R
,
t
≥
2
3
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{k}:=\{t\,\omega _{k}\mid t\in \mathbb {R} ,t\geq {\sqrt[{3}]{2}}\}}
pour
k
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle k=1,2,3}
. On pose
G
:=
C
∖
(
D
1
∪
D
2
∪
D
3
)
{\displaystyle G:=\mathbb {C} \setminus ({\mathcal {D}}_{1}\cup {\mathcal {D}}_{2}\cup {\mathcal {D}}_{3})}
.
Montrer que
G
{\displaystyle G}
est un domaine de
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
tel que si
z
∈
G
{\displaystyle z\in G}
alors
z
3
+
2
∈
Ω
0
:=
C
∖
R
−
{\displaystyle z^{3}+2\in \Omega _{0}:=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{-}}
et que l'application holomorphe
g
:
G
→
Ω
0
,
z
↦
z
3
+
2
{\displaystyle g:G\to \Omega _{0},\,z\mapsto z^{3}+2}
est surjective.
On désignera par
L
o
g
{\displaystyle \mathrm {Log} }
la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine
Ω
0
{\displaystyle \Omega _{0}}
. Calculer la dérivée de la fonction holomorphe
f
:=
L
o
g
∘
g
{\displaystyle f:=\mathrm {Log} \circ g}
.
Écrire le développement en série entière de
f
{\displaystyle f}
au voisinage de
0
{\displaystyle 0}
en précisant son rayon de convergence.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-2
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction holomorphe sur le disque
D
r
:=
{
z
∈
C
∣
|
z
|
<
r
}
{\displaystyle \mathbb {D} _{r}:=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<r\}}
avec
r
<
1
{\displaystyle r<1}
.
Démontrer les propriétés suivantes :
f
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
1
−
z
e
−
i
θ
d
θ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right)}{1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta }
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
;
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
z
¯
e
i
θ
1
−
z
¯
e
i
θ
d
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{1-{\overline {z}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }}}\,\mathrm {d} \theta =0}
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
.
Vérifier que si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
et
|
ζ
|
=
1
{\displaystyle |\zeta |=1}
, on a la relation suivante :
1
1
−
z
ζ
¯
+
z
¯
ζ
1
−
z
¯
ζ
=
1
−
|
z
|
2
|
1
−
z
¯
ζ
|
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-z{\overline {\zeta }}}}+{\frac {{\overline {z}}\zeta }{1-{\overline {z}}\zeta }}={\frac {1-|z|^{2}}{|1-{\overline {z}}\zeta |^{2}}}}
.
Démontrer la formule suivante :
f
(
z
)
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
e
i
θ
)
1
−
|
z
|
2
|
1
−
z
e
−
i
θ
|
2
d
θ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f\left(\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }\right){\frac {1-|z|^{2}}{\left|1-z\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }\right|^{2}}}\,\mathrm {d} \theta }
si
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
.
Montrer que cette formule reste valable si
f
{\displaystyle f}
est holomorphe sur
D
:=
D
1
{\displaystyle \mathbb {D} :=\mathbb {D} _{1}}
et continue sur
D
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}
(considérer, pour
r
>
1
{\displaystyle r>1}
, la fonction
f
r
(
z
)
:=
f
(
z
/
r
)
{\displaystyle f_{r}(z):=f(z/r)}
).
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction holomorphe sur
D
{\displaystyle \mathbb {D} }
et continue sur
D
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}
telle que
f
(
z
)
¯
=
f
(
z
)
{\displaystyle {\overline {f(z)}}=f(z)}
si
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
. Que peut-on dire de
f
{\displaystyle f}
?
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-3
Soient
P
,
Q
∈
C
[
z
]
{\displaystyle P,Q\in \mathbb {C} [z]}
deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle
R
{\displaystyle R}
en posant
R
(
z
)
=
P
(
z
)
Q
(
z
)
{\displaystyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}
si
z
∈
C
∖
{
b
1
,
…
,
b
q
}
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{b_{1},\dots ,b_{q}\}}
où
b
1
,
…
,
b
q
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{q}}
sont les pôles de
R
{\displaystyle R}
, c.-à-d. les zéros de
Q
{\displaystyle Q}
.
On désignera par
C
¯
:=
C
∪
{
∞
}
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante :
1
0
=
∞
{\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }
et
1
∞
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{\infty }}=0}
.
Montrer que
R
{\displaystyle R}
se prolonge en une application continue de
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
dans
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
, que l'on notera encore
R
{\displaystyle R}
. Quelles sont les images des pôles
b
1
,
…
,
b
q
{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{q}}
par le prolongement
R
{\displaystyle R}
?
Rappeler pourquoi deux fonctions
R
1
{\displaystyle R_{1}}
et
R
2
{\displaystyle R_{2}}
de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
, coïncident partout sur
C
¯
{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}
.
Dans toute la suite , on suppose que
R
{\displaystyle R}
est une fraction rationnelle de la variable complexe
z
{\displaystyle z}
vérifiant la propriété suivante :
(
∗
)
|
R
(
z
)
|
=
1
{\displaystyle (*)\qquad |R(z)|=1}
si
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
.
Pour chaque point
a
∈
C
{\displaystyle a\in \mathbb {C} }
, on pose
φ
a
(
z
)
:=
z
−
a
1
−
a
¯
z
et
φ
∞
(
z
)
:=
1
z
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle \varphi _{a}(z):={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\quad {\text{et}}\quad \varphi _{\infty }(z):={\frac {1}{z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
On suppose dans cette question que
R
{\displaystyle R}
est une homographie
h
{\displaystyle h}
qui vérifie
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
. Montrer qu'il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
et
a
∈
C
¯
{\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}
tels que
h
(
z
)
=
e
i
α
φ
a
(
z
)
{\displaystyle h(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\varphi _{a}(z)}
pour tout
z
∈
C
¯
{\displaystyle z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
.
On revient au cas général d'une fraction rationnelle
R
{\displaystyle R}
vérifiant
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
et l'on définit la fonction suivante :
S
(
z
)
:=
1
R
¯
(
1
/
z
¯
)
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle S(z):={\frac {1}{{\overline {R}}(1/{\overline {z}})}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
où
R
¯
(
w
)
{\displaystyle {\overline {R}}(w)}
désigne le conjugué de
R
(
w
)
{\displaystyle R(w)}
. Montrer que
S
{\displaystyle S}
est une fraction rationnelle de la variable complexe
z
{\displaystyle z}
vérifiant
S
(
z
)
=
R
(
z
)
{\displaystyle S(z)=R(z)}
pour
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
. Comparer
S
{\displaystyle S}
et
R
{\displaystyle R}
sur
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Montrer qu'un élément
a
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
est un zéro de
R
{\displaystyle R}
si et seulement si
1
/
a
¯
{\displaystyle 1/{\overline {a}}}
est un pôle de
R
{\displaystyle R}
. Interpréter géométriquement ce résultat.
Montrer que si
R
(
0
)
≠
0
{\displaystyle R(0)\neq 0}
et
R
(
0
)
≠
∞
{\displaystyle R(0)\neq \infty }
, alors il existe
α
∈
R
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }
tel que R s'écrive sous la forme
R
(
z
)
=
e
i
α
∏
k
=
1
m
z
−
a
k
1
−
a
k
¯
z
,
∀
z
∈
C
¯
{\displaystyle R(z)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\prod _{k=1}^{m}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},\quad \forall z\in {\overline {\mathbb {C} }}}
où
a
1
,
…
,
a
m
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}
sont les zéros de
R
{\displaystyle R}
comptés avec leur multiplicité.
Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable
z
{\displaystyle z}
qui vérifient la condition
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?