« Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations » : différence entre les versions
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#<math>g\circ f</math> est la translation de vecteur <math>\vec{AI}</math>, où <math>I:=g\circ f(A)=g(A)</math> est le milieu de <math>[AB]</math>. |
#<math>g\circ f</math> est la translation de vecteur <math>\vec{AI}</math>, où <math>I:=g\circ f(A)=g(A)</math> est le milieu de <math>[AB]</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-\frac32</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>g(A)=B-\frac12\vec{BA}</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}-\frac12\vec{BA}=-\frac32\vec{\Omega A}</math>, soit <math>\Omega=A+\frac35\vec{AB}</math>. |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-\frac32</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>g(A)=B-\frac12\vec{BA}</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}-\frac12\vec{BA}=-\frac32\vec{\Omega A}</math>, soit <math>\Omega=A+\frac35\vec{AB}</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>2</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=2\vec{\Omega A}</math>, c |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>2</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=2\vec{\Omega A}</math>, c'est-à-dire le symétrique de <math>B</math> par rapport à <math>A</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-3</math> qui envoie <math>B-2\vec{AB}</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=-3\left(\vec{\Omega B}-2\vec{AB}\right)</math>, soit <math>\Omega=A-\frac12\vec{AB}</math>. |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-3</math> qui envoie <math>B-2\vec{AB}</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=-3\left(\vec{\Omega B}-2\vec{AB}\right)</math>, soit <math>\Omega=A-\frac12\vec{AB}</math>. |
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Version du 1 février 2019 à 18:37
Exercice 2-1
Soit et deux points d'un plan.
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
1° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
2° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
3° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur .
4° est la translation de vecteur .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
Solution
- est la translation de vecteur , où est le milieu de .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , c'est-à-dire le symétrique de par rapport à .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
Exercice 2-2
Soient :
- trois points d'un plan ;
- l'homothétie de centre et de rapport ;
- la translation de vecteur .
Donnez la nature des transformations et et construisez leurs centres.
Solution
et sont deux homothéties de rapport . Notons et leurs centres respectifs.
- donc .
- donc .
Remarque : la donnée des points et ne sert pas : seul le vecteur de la translation est utile.
Exercice 2-3
Soient :
- une homothétie, de centre et de rapport ;
- une translation, de vecteur .
On rappelle que et sont des homothéties de rapport . Nous noterons :
- le centre de ;
- celui de ;
- l'image de par .
Montrez que :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Solution
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par la question précédente.
- D'après les questions 3 et 1, , donc .
- est aussi le centre de donc en remplaçant et par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : .