« Repère euclidien non orthonormé/Introduction » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

← Modification précédente Modification suivante →

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Version du 16 juillet 2018 à 21:51

**Introduction**
Leçon : Repère euclidien non orthonormé

Chapitre n^o 1
Retour au	Sommaire
Chap. suiv. :	Coordonnées covariantes et contravariantes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Repère euclidien non orthonormé : Introduction
Repère euclidien non orthonormé/Introduction », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Lorsqu’on fait de l’analyse vectorielle dans un espace vectoriel euclidien, on a l’habitude de simplifier les problèmes en se plaçant dans une base orthonormée (voir par exemple la fin de la leçon « Droites et plans de l'espace »).

Ce faisant, il se peut que, quelquefois, cette simplification nous empêche de prendre conscience de certains mécanismes particuliers et que l’on apprenne des formules par cœur sans vraiment les comprendre. Certains étudiants peuvent être rebutés par l’analyse vectorielle car ils n’ont pas une véritable conscience de certain processus. La compréhension profonde des lois régissant tous les phénomènes facilite leur mémorisation et il ne faut pas rechigner à passer du temps à essayer de mieux comprendre certain théorème pour pouvoir par la suite mieux les mémoriser et pouvoir aborder des notions plus profondes.

Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général.

Prenons un exemple :

Soit ${\vec {v}}$ un vecteur de coordonnées $(x_{1},x_{2},x_{3})$ dans un espace euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormée $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},{\vec {e_{3}}})$ . On peut alors écrire :

{\vec {v}}=x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}\cdot {\vec {e_{i}}}

.

Faisons le produit scalaire des deux membres de cette inégalité par l’un quelconque des vecteurs $e_{k}$ de la base avec $k\in \{1,2,3\}$ .

e_{k}\cdot v=e_{k}\cdot \sum _{i=1}^{3}x_{i}e_{i}=\sum _{i=1}^{3}x_{i}e_{k}\cdot e_{i}

.

La base étant orthonormée, on aura :

e_{k}\cdot e_{i}={\begin{cases}1{\text{ si }}k=i\\0{\text{ si }}k\neq i\end{cases}}

et par conséquent, on obtient la formule connue :

$x_{k}=e_{k}\cdot v$ .

Cette formule simple n’est valable que dans les bases orthonormées et il faut bien faire attention de ne pas l’utiliser dans une base qui n’est pas orthonormée (du moins si l’on n’a pas étudié les chapitres suivants).

Repère euclidien non orthonormé

Sommaire

Coordonnées covariantes et contravariantes

@@ Ligne 9 : / Ligne 9 : @@
 {{Clr}}
+Lorsqu’on fait de l’analyse vectorielle dans un espace vectoriel euclidien, on a l’habitude de simplifier les problèmes en se plaçant dans une base orthonormée (voir par exemple la fin de la leçon « [[Droites et plans de l'espace]] »).
+Ce faisant, il se peut que, quelquefois, cette simplification nous empêche de prendre conscience de certains mécanismes particuliers et que l’on apprenne des formules par cœur sans vraiment les comprendre. Certains étudiants peuvent être rebutés par l’analyse vectorielle car ils n’ont pas une véritable conscience de certain processus. La compréhension profonde des lois régissant tous les phénomènes facilite leur mémorisation et il ne faut pas rechigner à passer du temps à essayer de mieux comprendre certain théorème pour pouvoir par la suite mieux les mémoriser et pouvoir aborder des notions plus profondes.
-À la fin de la leçon « [[Droites et plans de l'espace]] », nous avons supposé que le 3-espace était euclidien et que le repère <math>(O;\vec i,\vec j,\vec k</math>) était orthonormé, ce qui a simplifié certains problèmes.
-Toutefois, il se peut que cette simplification vous empêche de prendre conscience de certains mécanismes particuliers et que vous appreniez des formules par cœur sans vraiment les comprendre. Certains étudiants peuvent être rebutés par l’analyse vectorielle car ils n’ont pas une véritable conscience de certain processus. La compréhension profonde des lois régissant tous les phénomènes facilite leur mémorisation et il ne faut pas rechigner à passer du temps à essayer de mieux comprendre certains théorèmes pour pouvoir par la suite mieux les mémoriser et pouvoir aborder des notions plus profondes.
 Résoudre des problèmes en prenant systématiquement des bases orthonormées peut avoir un effet similaire au fait de prendre systématiquement des triangles équilatéraux en géométrie d’Euclide alors que les énoncés des problèmes n’imposent rien sur la nature des triangles concernés. On peut ainsi faire apparaître des propriétés qui ne sont pas vraies dans le cas général et par la suite commettre des erreurs lorsque l’énoncé d’un problème nous imposera le cas général.
@@ Ligne 18 : / Ligne 17 : @@
 Prenons un exemple :
-Soit <math>\vec{v}  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}</math> un vecteur de coordonnées <math>(x_1, x_2, x_3)</math> dans un espace euclidien de dimension 3 (3-espace euclidien) rapporté à une base orthonormée <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})</math>. On peut alors écrire
+Soit <math>\vec v</math> un vecteur de coordonnées <math>(x_1, x_2, x_3)</math> dans un espace euclidien de dimension 3 rapporté à une base orthonormée <math>(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})</math>. On peut alors écrire :
-<div style="text-align: center;"> <math>\vec{v} = x_1 \cdot \vec{e_1} + x_2 \cdot \vec{e_2} + x_3 \cdot \vec{e_3} = \sum_{i=1}^3x_i \cdot \vec{e_i}</math></div>
+:<math>\vec v= x_1\vec{e_1} + x_2\vec{e_2} + x_3\vec{e_3} = \sum_{i=1}^3x_i \cdot \vec{e_i}</math>.
-Faisons le produit scalaire des deux membres de cette inégalité par l’un quelconque des vecteurs e<sub>k</sub> de la base avec k ∈ {1,2,3}
+Faisons le produit scalaire des deux membres de cette inégalité par l’un quelconque des vecteurs <math>e_k</math> de la base avec <math>k\in\{1,2,3\}</math>.
+:<math>e_k\cdot v=e_k\cdot\sum_{i=1}^3x_ie_i=\sum_{i=1}^3x_ie_k\cdot e_i</math>.
-<math>e_k\sum_{i=1}^3x_ie_i = e_k.v</math>
-Qui peut s’écrire :
-<math>\sum_{i=1}^3x_ie_k.e_i = e_k.v</math>
 La base étant orthonormée, on aura :
+:<math>e_k\cdot e_i = \begin{cases}1\text{ si }k=i\\0\text{ si }k\neq i\end{cases}</math>
+et par conséquent, on obtient la formule connue :
-<math>e_k.e_i = \begin{cases}1\text{ si }k=i\\0\text{ si }k\neq i\end{cases}</math>
-Et par conséquent, on obtient la formule connue :
 {{Encadre
   | contenu =
-<math>x_k=e_k.v</math>
+<math>x_k=e_k\cdot v</math>.
 }}