Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires

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Théorème des valeurs intermédiaires

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),

il existe (au moins) un réel c compris entre a et b tel que : $f(c)=u$.

Fin du théorème

Remarque : Avec $u=0$, cela signifie que f prend toute valeur intermédiaire entre $f(a)$ et $f(b)$.

Début de l'exemple

Exemple

Pour montrer qu'une fonction continue s'annule sur I,

il suffit de montrer qu'elle change de signe.

Fin de l'exemple

Interprétation graphique

La droite d'équation $y=u\,$ coupe au moins une fois la courbe représentative de f.

Interprétation en terme d'équations

Propriété

Soit f une fonction continue d'un intervalle I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel u compris entre f(a) et f(b),

l'équation f(x)=u admet (au moins) une solution c comprise entre a et b.

Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d'existence qui ne précise pas la valeur des solutions.

Néanmoins des méthodes algorithmiques (comme la méthode de dichotomie) l'utilisent pour déterminer des valeurs approchées des solutions.