Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

Ce premier exercice vise à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Partie 1

Soit $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite telle que :

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{4}}a_{n}+{\frac {1}{2}}a_{n-1}+1=0$.

1. Exprimer $a_{n}$ en fonction de n et $a_{0}$.
2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Solution

1. La relation de récurrence peut également s'écrire

$\forall n\in \mathbb {N} ,~a_{n+1}=-2a_{n}-4$.

Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme

$a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta$ avec $\alpha =-2\neq 1$ et $\beta =-4$

L'expression explicite de $\left(a_{n}\right)$ est alors :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad a_{n}=\alpha ^{n}(a_{0}-r)+r$ avec $r={\frac {\beta }{1-\alpha }}=-{\frac {4}{3}}$,

c'est-à-dire :

$a_{n}=(-2)^{n}\left(a_{0}+{\frac {4}{3}}\right)-{\frac {4}{3}}$.

2. La convergence de $\left(a_{n}\right)$ dépend alors de la valeur de $a_{0}$ :

• Si $a_{0}=-{\frac {4}{3}}$, la suite stationne à $-{\frac {4}{3}}$, donc elle converge vers $-{\frac {4}{3}}$.
• Si $a_{0}\neq -{\frac {4}{3}}$, la suite n'a pas de limite.

 

Partie 2

Soit $(u_{n})$ la suite définie par :

• $u_{0}=u_{1}=1$ ;
• $5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_{n}=3$.

On définit également la suite $(v_{n})$ par :

• $v_{0}=1,v_{1}=-1$ ;
• ${\frac {1}{2}}v_{n+1}-v_{n}={\frac {2}{3}}\left(v_{n+2}-5\right)$.

On note enfin $(w_{n})$ la suite définie par :

$w_{n}={\frac {u_{n}-v_{n}}{u_{n}+v_{n}}}$.

1. Exprimer $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de n ;
2. Les suites ainsi définies convergent-t-elle ? Si oui, quelle est leur limite ?
3. La quantité $w_{n}$ est-elle définie pour tout n ?
4. La suite $\left(w_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?
5. Que dire du module de cette suite ?

Calcul de (u_n)

• On commence par résoudre l'équation linéaire associée à cette récurrence affine : $5t_{n+2}-4t_{n+1}-t_{n}=0$.
• Le polynôme caractéristique associé est $P(X)=5X^{2}-4X-1$.
• Le discriminant de P vaut $\Delta =16-4~(-1)~5=36$ donc P admet deux racines réelles $r_{1}=1$ et $r_{2}=-{\frac {1}{5}}$.
• L'ensemble des solutions de l'équation linéaire est alors constitué des suites $(t_{n})$ de la forme $t_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence affine originale.
  • On a P(1) = 0. On étudie donc $P'(X)=10X-4$
  • $P'(1)\neq 0$ donc la suite $\left({\frac {n}{2}}\right)$ est solution particulière de l'équation de récurrence affine.
• L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence affine est alors constitué des suites $(s_{n})$ de la forme $s_{n}=\alpha +\beta \left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$, avec $(\alpha ,\beta )\in \mathbb {R} ^{2}$.
• On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de u_n en trouvant $\alpha$ et $\beta$ :
• ${\begin{cases}1=u_{0}=\alpha +\beta \\1=u_{1}=\alpha -\displaystyle {{\frac {\beta }{5}}+{\frac {1}{2}}}\end{cases}}$ donc ${\begin{cases}\alpha +\beta =1\\\alpha -{\frac {\beta }{5}}={\frac {1}{2}}\end{cases}}$
• La solution de ce système est $(\alpha ,\beta )=\left({\frac {7}{12}},{\frac {5}{12}}\right)$.

Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}={\frac {7}{12}}+{\frac {5}{12}}\left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$.

 

Calcul de (v_n)

• L'équation de récurrence vérifiée par (v_n) peut se réécrire $4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_{n}=20$.
• On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (v_n)» : $4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_{n}=0$.
• L'équation caractéristique associée est $4X^{2}-3X+6=0$.
• Le discriminant de ce polynôme veut $\Delta =9-4.4.6=-87$ donc le polynôme admet deux racines complexes conjuguées $r_{1}={\frac {3-i{\sqrt {87}}}{8}}$ et $r_{2}={\frac {3+i{\sqrt {87}}}{8}}$, toutes deux de module $\rho =\left|{\frac {3+i{\sqrt {87}}}{8}}\right|={\frac {\sqrt {6}}{2}}$ et d'argument (au signe près) $\theta =\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)$
• L'ensemble des solutions de l'«équation homogène associée à (v_n)» est alors $\left\{\forall n\in \mathbb {N} ,~s_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))/(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}$
• On cherche une solution particulière de l'équation de récurrence originale. On pose pour cela $P(X)=4X^{2}-3X+6$. On a P(1)=7 donc la suite définie par $\forall n\in \mathbb {N} ,~\sigma _{n}={\frac {20}{7}}$ est solution particulière de l'équation de récurrence initiale.
• L'ensemble des solutions de l'équation de récurrence est alors $\left\{\forall n\in \mathbb {N} ,~s_{n}=\rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))+{\frac {20}{7}}/(A,B)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}$
• On utilise alors les conditions initiales pour trouver l’expression de v_n en trouvant A et B:
• ${\begin{cases}\displaystyle {v_{0}=1=A+{\frac {20}{7}}}\\\displaystyle {v_{1}=-1=\rho (A\cos(\theta )+B\sin(\theta ))+{\frac {20}{7}}}\end{cases}}$ donc ${\begin{cases}A=\displaystyle {-{\frac {13}{7}}}\\\displaystyle {-{\frac {27}{7}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\left(-{\frac {13}{7}}{\frac {\sqrt {6}}{8}}+B{\frac {\sqrt {58}}{8}}\right)}\end{cases}}$
• Tous calculs faits, on obtient $(A,B)=\left(-{\frac {13}{7}},-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\right)$

Finalement : $\forall n\in \mathbb {N} ,~v_{n}=\left({\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)^{n}\left(-{\frac {13}{7}}\cos \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\sin \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)\right)+{\frac {20}{7}}$

 

Solution de la question 2

• $\forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n}={\frac {7}{12}}+{\frac {5}{12}}\left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}+{\frac {n}{2}}$
  • $\left|-{\frac {1}{5}}\right|<1$ donc $\left(\left(-{\frac {1}{5}}\right)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ tend vers 0

Donc $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$

• $\forall n\in \mathbb {N} ,~v_{n}=\left({\frac {\sqrt {6}}{2}}\right)^{n}\left(-{\frac {13}{7}}\cos \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\sin \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)\right)+{\frac {20}{7}}$
• ${\frac {\sqrt {6}}{2}}>1$
• Montrons que $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(-{\frac {13}{7}}\cos \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)-{\frac {59{\sqrt {87}}}{203}}\sin \left(n\arctan \left({\frac {\sqrt {87}}{3}}\right)\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ n'admet pas de limite en $+\infty$

Soit $n\in \mathbb {N}$:

${\begin{aligned}x_{n}&=A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta )\\&=\left({\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\cos(n\theta )+{\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\sin(n\theta )\right){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\\end{aligned}}$

Comme $\left({\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right)^{2}+\left({\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\right)^{2}=1$, il existe $\alpha \in \mathbb {R}$ tel que ${\begin{cases}\displaystyle {\cos(\alpha )={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}\\\displaystyle {\sin(\alpha )={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}\end{cases}}$

Donc

${\begin{aligned}x_{n}&=\left({\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\cos(n\theta )+{\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}\sin(n\theta )\right){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\&=\left(\sin(\alpha )\cos(n\theta )+\cos(\alpha )\sin(n\theta )\right){\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\&={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(\alpha +n\theta )\end{aligned}}$

Sous cette forme, il apparaît bien que $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ n'admet pas de limite.

Donc (vn) n'admet pas de limite en $+\infty$

 

Solution des questions suivantes

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}