Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 2

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Un simple automate cellulaire
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Exercices no2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Suites récurrentes linéaires 1
Exo suiv. :Suites récurrentes linéaires 3
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites récurrentes linéaires 2
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Un simple automate cellulaire[modifier | modifier le wikicode]

Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes linéaires d'ordre deux.

Définition de l'automate[modifier | modifier le wikicode]

Cet automate prendra deux valeurs, d'indice n et n+1, et retournera la valeur d'indice n+2. On incrémente alors n et on recommence l'opération.

Les règles sont :

  •  ;
  •  ;
  •  ;

L'automate reçoit les deux premières valeur et les complète avec ces règles. Par exemple, si on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

Questions[modifier | modifier le wikicode]

1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente linéaire d'ordre deux. Cette mise en équation est-elle unique ? ;
2. Montrer que l'équation homogène associée n'admet pas de solutions réelles ;
3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la séquence, celle-ci est périodique.

Oublions les règles[modifier | modifier le wikicode]

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

1. Le cas « 11 » n'est plus exclus : montrer que la solution est toujours périodique ;
2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation homogène ? Est-elle bornée ?

On change les règles de l'automate (x représente n’importe quel nombre, ce n’est pas une quantité fixe) :

  •  ;
  • si ;
  • si .

Dans ce cas :

1. Proposer une mise en équation de cet automate. Est-elle unique ?
2. Quelle est l'évolution d'une séquence décrite par cette équation ?